一元二次方程的代数应用2016

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1、一、选择题1.（2016福建福州，12，3分）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是A．a＞0B．a＝0C．c＞0D．c＝0【答案】D【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式，求字母的取值范围，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式的情况．据方程有实数根可得ac≤4，且a≠0，对每个选项逐一判断即可．【详细解答】解：∵一元二次方程有实数根，∴△=（﹣4）2﹣4ac=16﹣4ac≥0，且a≠0，∴ac≤4，且a≠0；A.若a＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；B.a=0不符合一

2、元二次方程的定义，此选项错误；C.若c＞0，当a=1、c=5时，ac=5＞4，此选项错误；D.若c=0，则ac=0≤4，此选项正确，故答案为D.【解后反思】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根；这些结论反过来也成立.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根b2－4ac≥0．【关键词】一元二次方程根的判别式；2.（2016甘肃兰州，9，4分）公园有一块正方形的空地，

3、后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图）原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．(x+1)(x+2)=18B．x2-3x＋16=0C．(x-1)(x-2)=18D．x2+3x＋16=0【答案】C【逐步提示】根据题意，剩余空地是一个长方形，先用x的代数式表示剩余的长方形空地的长与宽，再根据等量关系“剩余空地的面积为18m2”列出方程.【详细解答】解：根据题意，剩余的长方形空地的长为(x-1)m，宽为(x-2)m，所以可列出方程得(x-

4、1)(x-2)=18，故选择C.【解后反思】列方程（组）解应用题的一般步骤为：（1）审：是指审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系.（2）设：根据题意，设恰当的未知数.设未知数有“直接设元”与“间接设元”两种方法.（3）列：将相等关系中的各个量用含未知数的代数式表示出来，再根据相等关系列出方程.（4）解：解方程，得出未知数的值.（5）验：审查得出的方程的解是否符合题意，舍去不合题意的解.（6）答：写出答案.（注意，如果是间接设元，要先将未知数的值转化为题中所求的量，再作答）.【关键词】一元二次方程的应用

5、3.（2016广东省广州市，10，3分）定义运算：a★b=a(1－b)，若a，b是方程x2－x＋m=0(m＜1)的两根，则b★b－a★a的值为（）A．0B．1C．2D．与m有关【答案】A【逐步提示】利用方程根的定义，把a，b代入方程x2－x＋m=0(m＜1)，可得“a2－a”与“b2－b”均等于m．再根据新定义运算，化简求值式b★b－a★a，并适当整理构建“a2－a”与“b2－b”进行整体求值．【详细解答】解：∵a，b是方程x2－x＋m=0(m＜1)的两根，∴a2－a＋m=0，b2－b＋m=0，∴a2－a=b2－b=－m．∵a★

6、b=a(1－b)，∴b★b－a★a=b(1－b)－a(1－a)=b－b2－a+a2=(a2－a)－(b2－b)=0，故选择A．【解后反思】（1）新定义运算型试题，要抓住新定义运算的法则或者顺序，并将此定义作为解题的依据，通常照套法则即可．需要注意两点：①有括号时应当先算括号里面的；②新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用运算律解题．总之，新定义型问题是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原知识点．（2）整体思想就是在解决问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对整体的把握和运用

7、达到解决问题的目的．【关键词】代数式求值；方程的解；新定义运算；整体思想4.（2016河北省，14，2分）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）[来源:A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0【答案】B【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式，先化简不等式得到ac＜0，进而判断出b2－4ac的符号，由此可知方程根的情况.【详细解答】解：∵（a－c）2＞a2+c2，即a2－2ac+c2＞a2+c2，∴ac＜0，a≠0.∴关于x的方程ax2+

8、bx+c是一元二次方程，且b2－4ac＞0，故该方程有两个不相等的实数根.【解后反思】1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0