资源描述：
《以阿波罗尼斯圆为背景的考题研究与欣赏》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、以阿波罗尼斯为背景的考题研究与欣赏【摘要】近年来，高考考题中对于书本知识的考査愈加重视，来源于书本，但又高于书本的题型层出不穷，一来符合课改的思想，二来也是回归书本，回归数学本质的需要，同时，也是考査学生发散性思维和扎实基本功的重要手段，本文从一个高考题入手，与读者探讨阿波罗尼斯圆在高考模考中的应用与变化.【关键词】高考；阿波罗尼斯圆；定值真题再现（2008年江苏，13）若AB=2，AC=2BC，则SAABC的最大值.解法一利用余弦定理和函数的最值问题处理.设AC:2BC=2x.cosO3x2-422x2sinO-x4+24x2-162
2、2x2.S=12absinC=-x4+24x2-164，.••当x2=12时，Smax=22.很多考生在解答时，基木上用了此解法，虽入手简单，但计算量比较大，得分率不高.笔者在研究后发现，此题为课本习题的一个演化和提升.教材原题（人教A版必修2第124页B组习题3）已知点M与两个定点0（0，0）,A（3，0）的距离之比为12，求点M的轨迹，并求出它的方程•易得M的轨迹为以（1，0）为圆心，1为半径的圆.而在教材第144页B组练习中，编写者又将此结论进一步推广到比值为m的讨论，引导学生们发现，当m矣1时，动点轨迹即为圆.结论平面内一动点到
3、两定点的距离之比为非1的常数，动点的轨迹为圆，即阿波罗尼斯证明若两定点之间距离为2a，距离之比为m,（m>0,m^l）,以两定点所在直线为x轴，中垂线为y轴，建立坐标系，可得方程为x-m2+lm2-1?a2+y2=mm2~l?2a2.从而引出解法二：解法二以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系.A（-1，0）,B（1，0），设C（x,y）.由题意可得（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2,化简可得（x-3）2+y2=8,ASmax=22.虽然书本未有直接给出阿波罗尼斯圆的定义，但是这个重要结论却备受高考命题者的青睐，乐此不疲
4、，多次出现在各省高考题、各地模拟题中,下面笔者就简单加以举例说明.一、围绕定义，直接考查例1（2006年四川）已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足条件
5、PA
6、=2
7、PB
8、,则点P的轨迹所包围的图形的面积为（）解答若使用阿波罗尼斯圆定义加以研究，即可知P的轨迹为圆，计算可知圆方程为（x~2）2+y2=4，故答案为B.例2（2008年四川）己知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且
9、AK
10、二2
11、AF
12、,则ZXAFK的面积为（）A.4B.8C.16D.32解答如图，由条件可知
13、KF
14、=4为定值，且
15、
16、AK
17、=2
18、AF
19、,故由阿波罗尼斯圆的定义可知，A为圆方程和抛物线的交点.圆方程为（x-6）2+y2:32,故（x-6）2+y2二32,y2二8x,AA（2,4）,S=12X4X4=8.二、隐含条件，学会挖掘例3梯形ABCD中，AB//CD,且AB丄平面a,AB=2BC=2CD=4,点P为a内一动点，且ZAPB=ZDPC，点P的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线解答因AB//CD，且AB丄平面a,所以CD丄平面a，可得ZABP二ZDCP=90°，又因ZAPB=ZDPC,故AAPB与ADPC相似，得BPPC=ABDC=2,故由阿
20、波罗尼斯圆定义可知，P的轨迹为圆，答案选B.点评此题以立体几何为背景，考查解析几何问题，将阿波罗尼斯阒的定比关系隐含在三角形相似中，比较隐蔽，对学生考査要求较高.例4（2011年江西模拟）在等腰AABC中，AB=AC,BD是腰AC的中线，且BD=3，则AABC面积的最大值为.解答建立如右图华标系，？奶跫?可知，ABAD=2KBD=3,所以A的轨迹为圆，解法与文章开始的四川高考题一致.点评此题的关键在于应用合理的建系，发现ABAD=2为定值，从而加快解题速度，提高解题正确率.三、定义逆用，灵活应用例5(2012年辽宁省五校协作题高二竞赛试
21、题)己知圆C:x2+y2二9,点A(-5,0),若在直线0A上(0为坐标原点)，存在定点B(不同于A)，满足.•对于圆C上任一点P,都有
22、PB
23、
24、PA
25、为一常数，试求所有满足条件的定点B的坐标.解答由题意可知，P的轨迹即为阿波罗尼斯圆，所以可以对照阿波罗尼斯圆的推导思路进行解答.例6(2012年高屮数学联赛福建预赛高一试题)己知圆C:(x-2)2+(y-2)2=m,点A(4,6)，B(s,t)，若s,t为正整数，且圆C上任意一点到点A的距离与到点B的距离之比为定值X(X>1),求m的值.解答此题也是阿波罗尼斯圆的定义和性质的直接利用，读
26、者采取阿波罗尼斯圆的推导思路同样可以方便地加以解决.可见，阿波罗尼斯圆虽未在课本中以正式定义给出，但在课本中以习题的形式不止一次出现，同样也不止一次在高考模拟考中以多种形式不断出现，其地位可见一斑，但只要了
