课本中的阿波罗尼斯圆

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1、从课本中的阿波罗尼斯圆问题探讨数学文化在教学中的渗透靖江市第一高级中学数学组印栋E-mail:yde2003@163.com邮编：214500克莱因在其名著《西方文化中的数学》中指出：数学是一种精神，一种理性的精神．正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵．因此，美国数学学会主席魏尔德说：“数学是一种会不断

2、进化的文化”．正是数学与文化以及数学文化的不断交融及相互促进，才使数学在人类文明的发展中起到了举足轻重的作用并获得了如此多的赞誉．在新课程改革中，数学文化不再是被孤立的装饰品，而是渗透在相关模块和专题中．新课标《苏教版·必修2》在第2章平面解析几何初步第2.2节圆与方程介绍了圆的标准方程和一般方程后编排了这样一道习题：习题2.2（1）10.已知点与两个定点的距离之比为，那么点的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点所形成的曲线．分析：由于有了课上推导圆标准方程的过程可作为参照，大部分学生不需费太多的气力就

3、可以解出上述的问题，解法如下．解析：由题知，将距离公式代入可得，化简整理即得到该曲线的方程为：.因此，所求点所形成的曲线是以（－1，0）为圆心，2为半径的圆（图略）．这道题实际上源自约公元前262～前190的古希腊人阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga，也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”）在其巨著《圆锥曲线论》给出的一个著名的几何问题：“在平面上给定两点、，设点在同一平面上且满足，当大于0且≠1时，P点的轨迹是个圆”，这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹”．同上

4、题一样，我们用解析法完全可以证明：与、距离之比等于的动点轨迹为圆．但如果每题都先用解析法求出圆的方程，再根据圆心及半径作出圆，显然很费事，特别是对一些选择题或填空题如此解法实在小题大做，能否找出阿波罗尼斯圆的简捷作法？下述定理可给出明确答案．定理：、为两已知点，、分别为线段的定比为(≠1)的内、外分点，则以、为直径的⊙上任意点到、两点的距离之比等于常数．证明：不妨以>1为例．设，过作⊙的与直径垂直的弦，则，，，．由相交弦定理及勾股定理有于是且．从而，同时在到、两点距离之比等于的曲线（即圆）上，而不共线的

5、三点所确定的圆是唯一的，因此，⊙上任意点到两点的距离之比等于常数．根据以上过程，关于阿波罗尼斯圆我们还有如下一些显然的性质（证明略）．①因，故为⊙的一条切线；②点为⊙的切线的切点，、分别为的内、外角平分线；③当>1时，点在⊙内，点在⊙外；当0<<1时，点在⊙内，点在⊙外；④所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，圆的面积为；⑤过点作⊙的不与重合的弦，则平分．因为，所以四点共圆，平分．结合其中的部分性质，我们可以尝试一些应用：应用1在轴正半轴上是否存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数？如果存在，

6、求出点、坐标；如果不存在，请说明理由．解：假设在轴正半轴上存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数，设、、，其中．由题对满足的任何实数对恒成立，整理得，将代入得：，这个式子对任意恒成立，所以一定有：，因为，所以解得、．所以，在轴正半轴上是否存在两个定点、，使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数．应用2铁路线上线段，工厂到铁路的距离．现要在、之间某一点处，向修一条公路．已知每吨货物运输1的铁路费用与公路费用之比为，为了使原料从供应站运到工厂的费用最少，点应选在何处？解：以点为原点，所在直

7、线为轴，过点垂直的直线为轴建立直角坐标系，则，．先求到定点、的距离之比为的动点的轨迹方程，即，整理即得动点的轨迹方程：，令，得（舍去正值）即得点，，．下面证明此点即为所求点：自点作延长线的垂线，垂足为，在线段上任取点，连接，再作于．设每吨货物运输1的铁路费用为，则每吨货物运输1的公路费用为，如果选址在处，那么总运输费用为，而∽∽，∴，∴，那么总费用，当且仅当点、、共线时取等号．综上所述，点即为所求点．此外，阿波罗尼斯圆也在历年高考中频频出现：(1)(2003年北京春季高考卷)设(，0)，(，0)(>0)

8、为两定点，动点到点的距离与到点的距离的比为定值(>0)，求点的轨迹．(2)(2005年高考数学江苏卷)⊙与⊙的半径都是1，⊙与⊙切线(分别是切点)，使得=，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程．(3)(2008年高考数学江苏卷)满足条件，的的面积的最大值．以上试题体现了新课标的要求：了解概念、结论等产生的背景、应用，获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会其中所蕴涵的数学思想和方法．通过不同形式的自主学习