正六边形电位分布的有限差分算法.doc

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1、正六边形电位分布的有限差分算法姓名：指导老师：学号：目录正六边形电位分布的有限差分算法5引言51有限差分法的基本原理步骤52正六边形二维场域电位的有限差分算法62.1边界处理62.2数学模型的建立72.3正六边形电位分布的仿真程序93讨论及分析13正六边形电位分布的有限差分算法摘要：介绍了应用有限差分法求电位分布的一般步骤，针对静电场中轴对称情形下的正六边形场域的电位分布，建立了正三角形网格划分的有限差分法的计算模型，给出了Matlab仿真的程序设计流程图，并通过编程得到场域内的电位分布图形，对有限差分法的计算处理进行了讨论和分析。关键词

2、：正六边形；matlab；电位；有限差分法引言关于电磁场的数值计算，常用的方法有：有限差分法，时域有限差分法，有限单元法，矩量法，边界元素法等。由于这些方法只能获得近似解，因此，利用软件进行仿真或者求数值解就显得非常必要。本文基于Matlab，利用有限差分法求解静电场中的正六边形的电位分布。1有限差分法的基本原理步骤有限差分法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续的定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用求和来近似，于

3、是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后利用差值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。有限差分法数值计算包括下列基本步骤：1)区域的离散或子区域划分；2)插值函数的选择；3)方程组的建立；4)求解方程组。2正六边形二维场域电位的有限差分算法轴对称电磁场问题是电工设备设计分析中常遇到的一大类问题。如图1所示，边长为b的正六边形二维场域内无电荷分布，6条边上的电位（V）依次为1，-1，1，-1，1，-1，求场域内的电位分布。2.1边界处理由对称性容易看出

4、，正六边形外接圆的D条直径EE’，FF’和GG’均为零电位线。因此，被这3条直径切割成的6个正三角形区域的电位函数不独立，而具有如下性质。A点的电位与B点的电位满足(1)同理，有(2)(3)其中，OA=OB=ρ。当然，即使在-30º≤φ<30º范围内，电位数据仍存在冗余现象。所以，本题的正六边形二维场域电位分布的计算问题可以化为一个正三角形的电位分布问题，只要求出一个正三角形的电位分布，其它的就可以由（1）、（2）、（3）式的关系来确定。而一个正三角形场域中的电位计算，等价于下述拉普拉斯方程边值问题。场域：φ=±30º和x=√3b/2≡x

5、03条直线围成的等边三角形区域，如图1所示的△OGE’。边界条件：ψ=0（当φ=±30º）ψ=1（当x=x0）但是，该问题是三角形场域，因此，如果用通常的正方形网格划分边界，那么边界就不能恰好地落在网格上，这样一方面给计算编程带来麻烦，其次会使计算产生边界取值的误差。所以，针对场域形状采用三角形网格划分是处理边界条件的好办法。一般在进行网格划分时采用对称性网格形式，这样既方便数学建模，也方便计算编程。图1正六边形场域的边值问题图2场域的正三角形网格划分2.2数学模型的建立二维场域的拉普拉斯方程可以用有限差分法进行近似计算。首先把求解的区域

6、划分成网格，再把求解区域内连续的场分布用求网络节点上离散的数值解代替。网格必须划分得充分细，才能达到足够的精度。如图2所示，对于正三角形场域△OGE’，采用正三角形网格划分。其边界全部由网格点来划分，避免了边界取值的误差，也方便了计算编程。但域中任一点P的相邻点有6个，因此，用有限差分法计算编程需另建数学模型。设每个正三角形网格边长为a（称为步长），网格节点（i，j）的电位为ψi,j，与其保持等距离的6个邻点的电位分别为ψi,j+1，ψi,j-1，ψi-1,j，ψi-1,j-1，ψi+1,j，ψi+1,j+1。在a充分小的情况下，可以ψi

7、,j为基点进行泰勒级数展开。（4）（5）（6）（7）（8）（9）其中：为沿l方向的方向导数，为沿方向的方向导数。由于方向导数可表为所以，可得ψ的二次方向导数为（10）同理（11）把（4）-（9）式相加，得把（10）、（11）式代入上式得（12）对于（12）式，由于拉普拉斯方程为所以（12）式变为表示a的4阶无穷小，可以略去不计，则有限差分的数学表达式为（13）2.3正六边形电位分布的仿真程序对图1网格节点数设置为37×19=703，迭代精度为10-6。根据（13）式利用Matlab编制程序在计算机上运行，计算程序流程图如图3所示。程序运行

8、得到计算结果的迭代次数为65。图4为程序计算结果的图示，它描述了正六边形二维区域内电位的等位线分布情况，其分布结果一目了然。图3计算程序流程图1）采用简单迭代法求解简单迭代法的特点是用前一次迭