考研数学解答题.doc

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1、三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分）设函数，.若与在时是等价无穷小，求的值.【答案】【解析】方法一：因为，，那么，，可得：，所以，．方法二：由题意得由分母，得分子，求得c；于是8由分母，得分子，求得；进一步，b值代入原式，求得(16)(本题满分10分)设A>0，D是由曲线段及直线，所围成的平面区域，，分别表示D绕轴与绕轴旋转成旋转体的体积，若，求A的值。【答案】【解析】由旋转体的体积公式，得由题求得(17

2、)(本题满分11分)已知函数满足，，，求的极值。【答案】极小值8【解析】两边对y积分，得，故，求得，故，两边关于x积分，得由，求得所以.令，求得.又，，，当时，，为极小值.(18)(本题满分10分)计算二重积分，其中【答案】【解析】8(19)(本题满分11分)已知函数，求零点的个数？【答案】个【解析】令,得驻点为,在,单调递减,在,单调递增故为唯一的极小值,也是最小值.而在,,故从而有考虑，所以.所以函数在及上各有一个零点，所以零点个数为2.(20)(本题满分10分)8已知高温物体置于低温介质中，任一

3、时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为的物体在的恒温介质中冷却，30min后该物体降至，若要将该物体的温度继续降至，还需冷却多长时间？【答案】【解析】设时刻物体温度为，比例常数为，介质温度为,则，从而，，所以，即又所以，所以当时，１，所以还需要冷却３０min.(21)(本题满分10分)已知函数在区间上具有2阶导数，，，，设，曲线在点处的切线与轴的交点是，证明。【证明】根据题意得点处的切线方程为令，得因为所以单调递增，又因为所以，又因为所以又因为，而在区间（a,b）

4、上应用拉格朗日中值定理有所以因为所以单调递增所以所以，即，所以，结论得证.8(22)(本题满分11分)设矩阵且.(1)求的值；(2)若矩阵满足，为3阶单位阵，求.【答案】【解析】(I)(II)由题意知，(23)(本题满分11分)8设矩阵相似于矩阵.（1）求的值；（2）求可逆矩阵，使为对角阵.【答案】（1）；（2）【解析】(I)(II)的特征值时的基础解系为时的基础解系为A的特征值8令，8