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1、《高等数学》教案110ChapⅤ定积分及其应用不定积分是微分法逆运算的一个侧面,本章要介绍的定积分则是它的另一个侧面.定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题.古希腊的阿基米德用“穷竭法”,我国的刘徽用“割圆术”,都曾计算过一些几何体的面积和体积,这些均为定积分的雏形.直到17世纪中叶,牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念,并发现了积分与微分之间的内在联系,给出了计算定积分的一般方法,从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具,并使各自独立的微分学与积分学联系在一起,构成完整的理论体系——微积分学.§1.定积分的概念本节
2、重点与难点：定积分的概念.本节内容：一、引言二、曲边梯形的面积Df1由曲线、直线及围成的图形，称为曲边梯形.分割、取近似、求和、取极限.三、变速直线运动的路程四、变力沿直线所作功五、定积分的定义Df2设在上有界,在中任意插入若干个分点,把区间分割成个小区间,各小区间的长度依次为.在上任取一点,作积,并作和式,记,如果参考课时：20+5有不定自然有定小学：圆的面积基本思想：以直代曲，以匀速代变速抽象《高等数学》教案110不论对怎样的分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和总趋于确定的极限,就称这个极限为函数在区间上的
3、定积分,记为，其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分区间,叫做积分下、上限.叫做积分和.1.极限与分法和取法无关2..3..4..六、定积分的几何意义表示区间上轴上下方的曲边梯形面积之差.(上的曲边梯形面积的代数和)七、定积分的物理意义八、定积分存在定理Th1设,则在上可积.Th2设在上有界,且只有有限个间断点，则在上可积.Th3(*)设在上单调有界,则在上可积.九、求定积分过程的辩证思维无论是求曲边梯形的面积，还是求变速直线运动的路程，初等数学都无法解决，而高等数学可迎刃而解.奥妙何也称在区间上(Ri
4、emann)可积.简介黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系《高等数学》教案110在?奥妙就在于恩格斯所指出的:“初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的说来是这样；而变量数学——其中最主要的部分是微积分——本质上不外是辨证法在数学方面的应用.”.从初等数学到变量数学的过渡，反映了人类思维从形式逻辑向辨证逻辑的跨越，是人类的认识能力由低级向高级的发展.求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的前两步，即“分割”和“求和”，是初等数学方法的体现，而且也是初等数学方法中形式逻辑思维的体现.只有第三步“取极限”这种
5、蕴含于变量数学中的丰富的辨证逻辑思维，才使得初等数学无法解决的问题柳暗花明，别开洞天!在第一章极限部分已指出极限方法中蕴含着丰富的辨证思维，在求定积分过程中关键的步骤是取极限,因而辨证思维也体现得很充分.定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、近似与精确、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已知，体现了对立统一法则.同时也体现了否定之否定法则:为求总量，在取极限过程中，当时，一方面使积分和中的积分元素转化为总量的微分,这是对总量的否定，这次否定的结果得到了的微分,这是对总量的无限项细分；另一方面，当时，积分和转
6、化为对微分的无限项相加，这是对的否定，这一次否定的结果得到了总量，这是对的无限积累.正是由于求定积分过程中包含着丰富的辨证思维，才使得高等数学——主要是微积分——巧妙地、有效地解决了初等数学所不能解决的问题.十、定积分的近似计算矩形法，梯形法例1利用定积分的定义计算定积分.例2.例3.定积分的近似计算法很多.随着计算机应用的普及,利用现成的数学软件计算定积分的近似值已变得非常方便.《高等数学》教案110例4用矩形法计算定积分的近似值.例5利用定积分的几何意义,说明下列等式:.作业：P184习题5-1《高等数学》教案110
7、§2.定积分的性质本节重点：定积分的性质.本节难点：定积分中值定理.本节内容：P1.P2,(为常数).P3(有限可加性).P4.P5设则.推论1设,则,.推论2.推论3设,但不恒为0,则,.P6(估值不等式)设M及m分别是函数在区间上的最大值及最小值,则.P7(定积分中值定理)设,则.Df称为在区间上的平均值.线性性质几何意义(图示)几何意义(图示)几何意义(图示)几何意义(图示)经典证明几何意义(图示)几何意义(图示)函数值以区间长度作为权数的加权平均数的极限.把平均数从有限推广到无限《高等数学》教案110例1比较积分
8、值和的大小.例2估计积分的值.例3设可导,且求.例4估计积分的值.例5证明不等式.例6.作业：P187习题5-2《高等数学》教案110§3.微积分基本公式本节重点与难点：微积分基本公式的应用.本节重点与难点：微积分基本公式的证明.本节内容：一、引言积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题,我们在第四章中已
