二节初等函数与多元函数

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1、第二节　初等函数与多元函数一、初等函数二、建立函数关系举例三、多元函数的概念第二模块　函数、极限、连续1.基本初等函数三角函数反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx；一、初等函数等五类函数统称为基本初等函数.y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx；幂函数指数函数对数函数2.复合函数若函数y=F(u),定义域为U1,函数u=j(x)的值域为U2,则y通过变量u成为x的函数,这个函数称为由函数y=F(u)和函数u=j

2、(x)构成的复合函数,其中变量u称为中间变量.记为例1即为所求的复合函数其定义域为(,).解解1例2求f[j(x)]时,应将f(x)中的x视为j(x),因此因此例3解方法一令u=x1,得f(u)=(u1)2,再将u=2x1代入,即得复合函数方法二因为f(x1)=x2=[(x1)+1]2,于是问题转化为求y=f(x)=(x1)2与j(x)=2x1的复合函数f[j(x)],因此例4是由哪些函数复合而成的.解3.初等函数由基本初等函数及常数经过有限次四则运算和有限次复合构成,并且可以用一

3、个数学式子表示的函数,叫做初等函数.例如等等,都是初等函数.二、建立函数关系举例解设剪去的小正方形的边长为x,则盒子的底面积为(a-2x)2，高为x，因此所求的函数关系为例5设有一块边长为a的正方形薄板，将它的四角剪去边长相等的小正方形制作一只无盖盒子，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数.xa-2x盒子的体积为V.x例6由直线y=x，y=2x及x轴所围的等腰三角形OBC，xy=xyxO12y=2xCB在底边上任取一点x[0,2].过x作垂直x轴的直线，将图上阴影部分的面积表示成x的函数.解设阴影

4、部分的面积为A，当x[0,1)时，当x∈[1,2]时，所以xy=xyxO12y=2xCB三、多元函数的概念1.二元函数的定义设有三个变量x,y和z,如果当变量x,y在一定范围内任意取定一对数值时.变量z按照一定的规律f,总有确定的数值与它们对应，则称z是x,y的二元函数，记为定义1自变量x、y的取值范围称为函数的定义域.其中x,y称为自变量，z称为因变量．二元函数在点(x0,y0)所取得的函数值记为例7以及n元函数u=f(x1,x2,···,xn)，类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)多于一个

5、自变量的函数统称为多元函数.解二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用D表示.2.二元函数的定义域围成区域的曲线称为区域的边界，不包括边界的区域称为开区域.连同边界在内的区域称闭区域，如果一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，则称此区域为有界区域.求下列函数的定义域D，并画出D的图形：应有解例8所以函数的定义域D是以x=±2,y=±3为边界的矩形闭区域.≤≤≤≤≤≤xyO32-3-2(2)因为要使函数应有是有界区域.所以函数定义域是以原点为圆心的环形区域，>≥即1

6、2≤4xy21O有意义，设D由y=1,x=2,y=x围成.例9①②的不等式组来表示平面区域D:求形如≤≤≤≤≤≤≤≤y=xy=1x=2xyO1212先做出区域D的图形，直线y=x,y=1交于点(1,1).y=x,y=2的交点为(2,2).解再将D投影到x轴上，得到区间[1,2]，则区域D内任一点的横坐标x，在[1,2]内任取一点x，作平行于y轴的直线，由图可知，对于所给的x,D内对应的纵坐标y满足：满足不等式,≤≤≤≤y=xy=1x=2xyO1212≤≤≤≤因此区域D用形如①的不等式组表示为若想把D用形如

7、②的不等式组表示，则将D投影到y轴上，所以在y轴上得到区间[1,2].因为直线x=2与y=x的交点为(2,2)，在区间[1,2]内任意取一点y,作平行于x轴的直线，由图可知对于所给的y，D内对应点的横坐标x满足≤≤故D用形如②的不等式组表示为≤≤≤≤y=xy=1x=2xyO1212