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1、直线系对称问题（一）主要知识及方法：点关于轴的对称点的坐标为；关于轴的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为.点关于直线的对称点的坐标的求法：设所求的对称点的坐标为，则的中点一定在直线上.直线与直线的斜率互为负倒数，即直线关于直线的对称直线方程的求法：①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…点关于定点的对称点为，曲线：关于定点的对称曲线方程为.直线系方程：直线（为常数，参数；为参数，位常数）.过定点的直线
2、系方程为及与直线平行的直线系方程为（）与直线垂直的直线系方程为过直线和的交点的直线系的方程为：（不含）典例分析（一）例1：已知3a+2b=1,求证：直线ax+by+2(x-y)-1=0过定点,并求该定点坐标.思路一：由3a+2b=1得:b=(1-3a)代入直线系方程ax+by+2(x-y)-1=015整理得(2x–y-1)+a(x-y)=0由,得交点(1,)∴直线过定点(1,).思路二：赋值法令a=0得b=得L1:2x-y-1=0令b=0得a=得L2:x–y=0由,得交点(1,)把交点坐标代入原直线方程左边得:左边=(3a+2b-1)∵3a+2b-1=0∴左边=0这说明只要3a+2b
3、-1=0原直线过定点(1,).例2:求证:无论λ为何值,直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0与点P(-2,2)的距离d都小于4.证明：将直线方程按参数λ整理得(2x-y-6)+λ(x-y-4)=0故该直线系恒过二直线2x-y-6=0和x-y-4=0的交点M易解得M(2,-2)求得
4、PM
5、=4所以d≤4而过点M垂直PM的直线方程为x-y-4=0,又无论λ为何值,题设直线系方程都不可能表示直线x-y-4=0∴d<4【注】此题若按常规思路,运用点距公式求解,则运算量很大,难算结果,运用直线系过定点巧妙获解.例题：例3、（1）证明直线l过定点；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交
6、y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程；（3）若直线不经过第四象限，求k的取值范围。分析：（1）证直线系过定点，可用分离参数法。（2）求△AOB面积S的最小值，应先求出目标函数S＝f(k)，再根据目标函数的结构特征选择最小值的求法。（3）直线不经过第四象限的充要条件是：直线在x轴上的截距小于或等于-2，在y轴上的截距大于或等于1。或由直线经过定点（-2，1）知斜率大于或等于零。解：（1）直线l的方程是：15∴无论k取何值，直线总经过定点（-2，1）（2）由l的方程，得：解得：k＞0解之得：k＞0小结：本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”，也是
7、证明曲线系过定点的一般方法。例4、已知P（1，3），直线l：x－4y＋1＝0（1）求过P且平行于l的直线l1的方程；（2）求过P且垂直于l的直线l2的方程．策略：由l1∥l的斜率关系可得＝，由l2⊥l的斜率关系得＝－4，再利用点斜式方程可求出直线l1，l2的方程．由平行直线系与垂直直线系可以求出l1，l2的方程．解法一：（1）∵直线l的斜率为且l1∥l，∴直线l1的斜率k1＝15又∵l1过P（1，3），∴l1的方程为y－3＝(x－1)，即x－4y＋11＝0．(2)∵kl≠且l2⊥l，∴直线l2的斜率为k2＝－4又∵l2过P(1，3)∴l2的方程为y－3＝－4(x－1)即4x＋y－7＝
8、0．解法二：（1）∵l1∥l且l方程为x－4y＋1＝0∴设l1的方程为x－4y＋C＝0又∵P(1，3)在l1上∴1－4×3＋C＝0解得C＝11∴l1的方程为x－4y＋11＝0．(2)∵l2⊥l∴设l2的方程为4x＋y＋C＝0又∵l2过P（1，3）∴4×1＋3＋C＝0解得C＝－7∴l2的方程为4x＋y－7＝0．评注：一般地，利用平行直线系和垂直直线系求直线方程会给计算带来很大方便．例5、求证：不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点，并求出此定点坐标．策略：对于这类题目，只要找出两条相交的直线，然后解出交点坐标即可．证法一：（特殊值法）当m＝1时，直线l的
9、方程为y＝－4；当m＝时，直线l的方程为x＝9；∴两直线的交点为（9，－4），满足直线l的方程(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5∴不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点（9，－4）．证法二：（直线系法）将方程(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5整理得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0解方程组得15∴不论m为何实数，定点(9，－4)恒满足方程(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5．即不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(
