数学史论文《函数概念的发展》

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1、.WORD完美.格式编辑.*********大学*********专业《数学史》论文函数概念的发展姓名：*********学号：*********专业：*********班级：*********老师：*********.技术资料.专业整理..WORD完美.格式编辑.函数概念的发展姓名：*********学号：*********（*********大学*********学院*********专业***级*班）摘要：函数概念是全部数学最重要的概念之一，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助

2、于我们更深刻、更全面地理解函数的本质，并且从中得到有益的方法论启示。本文主要论述了函数的三种定义：变量说、对应说和关系说，以及函数的演变历史，说明函数概念的历史映射了整个数学的发展史。关键词：函数概念；变量说；对应说；关系说；发展史一、早期的函数概念—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会

3、导致通常称为函数关系的那种从属关系。但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。十七世纪伽俐略(g．galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念

4、。.技术资料.专业整理..WORD完美.格式编辑.到了17世纪，牛顿在创立微积分的过程中一直用“流量”一词来表示变量之间的依赖关系，并且从运动的角度，把曲线看成是动点的轨迹。他在《求曲边形的面积》中说：“我认为这里的数学量，不是由小块合成的，而是由连续运动描出的，线(曲线)是描画出来的，因而它的产生不是由于凑零为整，而是由于点的连续运动…”格雷果里在他的论文《论圆和双曲线的求积》中，给出函数这一模式的素朴描述，他定义函数是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的量，或者是经过任何其它可以想象到的运算而得到的。据他自己解释，

5、这里的“可以想象到的运算，除了加、减、乘、除和开方外，还有极限运算。格雷果里给出的是函数的解析定义，由于此后不久就证明这一定义太狭窄，也就逐渐被人们遗忘。"函数"作为数学术语是由微积分的另一位创立者莱布尼兹于1673年引进的,他用"函数"一词表示任一个随着曲线上的点变动的量,并指出:"象曲线上点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等,所有与曲线上的点有关的量称为函数."除此以外,他还引进了“常量”、“变量”和“参变量”等概念,一直沿用到现在,这个定义仅是在几何范围内揭示某些量之问所存在的依赖关系,并无给出函数的解析定义

6、,因此,莱布尼兹所给出的函数的定义可看成是“函数概念的几何起源"。总之，到了17世纪末，人们还没有从普遍意义上对函数这一概念的本质认识清楚。二、函数概念的发展阶段—对应说正如所知,微积分是一门研究变量和函数的学科。尽管牛顿和莱布尼兹创立了微积分，但由于他们对包括函数在内的一些基本概念，特别是对微积分赖以建立的基础一无穷小量的认识含混不清，出现了运算过程中的逻辑矛盾，导致了数学发展史上所谓的第二次数学危机。从而促使了数学家进一步寻找微积分可靠的基础，在这艰苦的探索过程中，函数自然也就成为数学家必须研究的对象。第一个在莱布尼兹

7、工作的基础上作出函数概念推广的是约翰·贝努里。1718年约翰·.技术资料.专业整理..WORD完美.格式编辑.贝努利(bernoullijohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18世纪中叶欧拉(l．euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变

8、量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普