函数概念的历史发展.doc

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1、函数概念的历史发展函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，乂是解决数学问题的基本思想方法。早在16、17批纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程屮各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。函数（function）—词，始用于1692年，见箸于微积分创始人之一莱布尼兹GW.Leibnic,1646—1717）的著作。而f（x）则由欧拉（Euler）于1724年首次使用。我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英

2、国传教士伟烈亚历山人合译的《代微积拾级》屮出现。函数在初高等数学屮，在物理、化学和其他自然科学中,在经济领域和补会科学屮，均有广泛的应用，起着基础的作用。函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程屮不断地精确、完善、抽象,函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。牛顿在《自然哲学的数学原理》屮提出的“生成量”就是函数概念的雏形。最初，两数是表示代数上的幕（兀"，凡…），1673年，莱布尼兹把任何一个随着

3、11

4、线上的点变动的儿何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。一、解析的函数概念在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一

5、个解析表达式.1698年，瑞士著名数学家约翰•贝努利定义：由变量x和常最用任何方式构成的量都可以称为x的函数.这里任何方式包括代数式子和超越式子.1748年，约翰的学生，杰岀数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方武形成的解析表达式”，这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数.并且,欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：代数函数与超越函数，有理函数与无理函数，整函数与分函数，单值函数与多值函数.当时把函数看作一个解析表达式的还有著名的法国数学

6、家达朗贝尔和拉格朗口.但这种解析的函数概念有其局阳性，如某些变景之间的对应关系不能川解析式子表达出来，那么根据这个定义就不能称之为函数关系.例如著名的狄利克雷（Dlrichkt）函数[1,无为有理数D（x）=s0,兀为无理数二、几何的函数概念因为解析表达式在儿何上可表示为曲线，i些数学家把曲线称为函数.1746年，达朗贝尔在研究弦振动问题时，提出了川单独的解析表达式给出的曲线是凶数.厉来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，他提出了一个新定义：函数是“xy平而上随手画出來的曲线所表示的y与x间的关系”.即把函数定义为一条随意画出来的曲线

7、.欧拉称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数（“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的）.但是，欧拉的观点没有被达朗贝尔接受，并展开了激烈争论.1822年，法国数学家傅立叶提出了任意函数可展开为三角级数，这实际上是说，不管是连续函数或不能用解析表达式给出的函数（凡能用图形给出）都可以用三角级数表示•因此也说明了，仅从表达式是否“单一”，或函数是否连续來区别是不是函数，显然是不合理的.傅立叶在论文《热的分析理论》屮，证明了“由不连续的线给出的函数，能川一•个三角函数式来表式”.他举例指出图7.2

8、.1所示的不连续曲线，表达式有无穷多个，即7T—

9、量为府面变量的函数值得指出的是这里的“依赖”，“随之变化”等的含意不十分确切.例如g=xT,当x取一3,十3时y均等于9,y没有变化.乂如常量函数y=c,不论x如何变化y总是一个不变的值.因此，该定义限制了函数的外延，只能算函数概念的科学雏型.19世纪最杰出的法国数学家柯西也给出了如下函数定义：“若当x的每个值，都有完全确定的y值与之对应，则称y是f的函数此定义澄清了函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词，但对函数概念的本质…对应思想强调不够.而且，当时柯西仍然考虑f和y的关系川若干个解析式表示的情

10、况.其实，所谓用解析式表示这一点，对x与y的关系并无多人意义，因此该定义也只能算科学函数概念的维型.四、函数概念的精确化1837年，徳国数学家黎曼和狄里克雷克服了前