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1、第五节 合情推理与演绎推理一、合情推理1．归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．特点：是由到整体、由到一般的推理．2．类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有的推理．特点：类比推理是由的推理．全部对象部分个别这些特征特殊到特殊二、演绎推理1．模式：三段论①大前提——已知的；②小前提——所研究的；③结论——根据一般原理，对做出的判断．2．特点：演绎推理是由到．一般原理特殊情况特殊情况一般特殊的推理[疑难关注
2、]1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．1．(课本习题改编)数列2,5,11,20，x,47…中的x等于()A．28B．32C．33D．27解
3、析：从第2项起每一项与前一项的差构成公差为3的等差数列．∴x＝20＋12＝32.答案：B2．(2013年长春模拟)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①②B．③④C．①④D．②③解析：经验证易知①②错误．依题意
4、，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.答案：B答案：C5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：因为两个正三角形是相似三角形，所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似
5、比的立方，所以它们的体积比为1∶8.答案：1∶8考向一 归纳推理[例1](2012年高考湖北卷)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：(1)b2012是数列{an}中的第________项；(2)b2k－1＝________.(用k表示)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”．如图
6、，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是________．①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.解析：这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，只有③⑤是对的．答案：③⑤考向三 演绎推理A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提错都导致结论错解
7、析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．答案：A【易错警示】类比时类比不当而致误【错因】上述解法出错的原因在于学生误认为平面内三条高线长度类比到空间中应为相应的面的面积．本题解决的关键是理解在三角形中的结论是采用等面积法得到的，那么在三棱锥中就可以根据等体积法得到，这样就不会出现类比失误．【防范指南】类比推理是一种由此及彼的合情推理，一般的解答思路是进行对应的类比，类比推理得到的结论不一定正确，故这类题目在得到类比的结论后，还要用类比方法对类比结论的正确性作出证明．1．(2012年高考江西卷)观察下列事实：
8、x
9、＋
10、y
11、
12、＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，
13、x
14、＋
15、y
16、＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，
17、x
18、＋
19、y
20、＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则
21、x
22、＋
23、y
24、＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76B．8
