分维fractaldimension

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1、分维（FractalDimension）讲授：王庆丰2004.04.15一、引言二、分维的概念1.整数维（拓扑维或传统的维数）2.分数维3.分数维的性质三、分维的应用一、引言1919年，豪斯道夫Hausdorff(1868-1942)将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。1967年，曼德布罗特（B.B.Mandelbort,1924-）《英国的海岸线有多长？统计自相似与分数维数》建立了“分形几何”。二、分维的概念1.整数维（拓扑维或传统的维数）a.点——零维b.线——一维c.面——二维d.体——三维平面中的曲线和空间的曲线是几维

2、呢？答案：一维让我们对维数有更多的理解：图形名称维数复制个数线段12=21正方形24=22立方体38=23自相似几何体线度的2倍所得复制个数ｋ=2d其实，自相似几何体线度的λ倍所得复制个数ｋ=λd其中:d是几何体的维数ｋ是复制个数让我们看下面的两个图形：a.谢尔平斯基缕垫或海绵3=2dd=log3/log2?b.科赫曲线4=3dd=log4/log3?此外，维数和测量有着密切的关系：一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有

3、限值呢？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1(大于0、小于2)。对于我们上面提到的科赫曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0(此曲线中不包含平面)。那么只有找一个与科赫曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维！2.分数维现在我们从测量的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数。即：如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的ｋ个图形所组成，有：ｋ=λDD即维数D=logｋ/logλ其中：λ为线度的

4、放大倍数ｋ为“体积”的放大倍数D=logｋ/logλ由于这样定义的维数D是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数维。易见，这样定义的维数包括规整的对象（线、面、体）的整数维。D线=log2/log2=1D面=log4/log2=2D体=log8/log2=3谢尔平斯基垫片或海绵的维数：d=log3/log2=1.58…科赫曲线的维数：d=log4/log3=1.26…象相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维数概念的进一步发展！准确的说，我们把上面定义的分数维称为相似性维数。相似性维数通常被定义为具有严格自相似性的维数。还有其他一些方法定义的维数，如

5、容量维数、豪斯道夫维数、信息维数、关联维数等。柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)曾给分维这样定义：对于d维空间中的一个小集合E，我们可以用一些直径r的d维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为N(r),则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：或一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此时的D值称为该分形的分形维数，简称分维。也有人把该维数称为分数维。3.分数维的性质a.分数维一定大于拓扑维而小于它的所占的空间维；b.分数维数值D的大小是分形对象复杂程度的一个度量，数值越大分形对象越复杂；我们来看三种

6、人造海岸线，它们的形式一个比一个复杂三种海岸线起点与终点间直线距离均为1。于是计算出的维数分别是：c.对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分维表示的不规整程度却是一个常量。如下面的科赫曲线，设两端点的距离为1，当尺子取:r=1/3,N=4D=log4/log3=1.26r=1/9,N=16D=log16/log9=1.26三、分维的应用伴随着分形理论的发展，分维也在越来越多的领域得到更广泛的应用。它涉及到：农业、林业、医学、材料、经济、图形学……喉肿癌细胞核边界分维值的比较类型个数分维（DF）（X士S）Ｐ值正常上皮15001.0638士0.0167

7、<0.01*乳头状瘤10001.1142士0.0173喉鳞癌19001.2035士0.0316<0.01***正常上皮与乳头状瘤相比**乳头瘤与鳞癌比较