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时间:2018-11-30
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1、第十节 函数的模型及其应用一、三种增长型函数模型的图象与性质二、三种增长型函数之间增长速度的比较1.指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xn(n>0).在区间(0,+∞),无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xn,但由于ax的增长xn的增长,因而总存在一个x0,当x>x0时有.2.对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xn(n>0).对数函数y=logax(a>1)的增长速度,不论a与n值的大小如何总会y=xn的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有.综上,可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此
2、在(0,+∞)上,总会存在一个x0,使x>x0时有.快于ax>xn慢于logaxxn>logax[疑难关注]解决实际应用问题的一般步骤(1)审题:深刻理解题意,分清条件和结论,理顺其中的数量关系,把握其中的数学本质;(2)建模:由题设中的数量关系,建立相应的数学模型,将实际问题转化为数学问题;(3)解模:用数学知识和方法解决转化出的数学问题;(4)还原:回到题目本身,检验结果的实际意义,给出结论.1.(课本习题改编)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是()A.f(x)>g(x)>h(
3、x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)解析:画出函数的图象,当x∈(4,+∞)时,指数函数的图象位于二次函数图象的上方,二次函数的图象位于对数函数图象的上方,故g(x)>f(x)>h(x).答案:B2.在一次数学试验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:则下列函数与x,y的函数关系最接近的是(其中a,b为待定系数)()A.y=a+bxB.y=a+bxC.y=ax2+bD.y=a+解析:由表格数据得,模拟函数为y=a+bx.答案:B3.(2013年长春模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价
4、,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析:由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大,故选B.答案:B4.(2013年银川模拟)某电脑公司2012年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为400万元,占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1690万元,且计划从2012年到2014年,每年经营总收入的年增长率相同,2013年预计经营总收入为________万元.答案:13005
5、.(课本习题改编)某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为r,存期是x,本利和(本金加利息)为y元,则本利和y随存期x变化的函数关系式是________.答案:y=a(1+r)x,x∈N*1.(2013年浙江金华十校期末)有一批材料可以建成200m长的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为________.(围墙厚度不计)解析:本题是实际问题,建立函数关系即可.设矩形场地的宽为xm,则矩形场地的长为(200-4x)m,面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500.故当x=25
6、时,S取得最大值2500,即围成场地的最大面积为2500m2.答案:2500m2考向二 分段函数模型[例2](2013年日照模拟)据气象中心观察和预测:发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km).(1)当t=4时,求s的值;(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说
7、明理由.2.(2013年鹤壁模拟)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P(元/件):前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升,其中4天的单价记录如下表:而这20天相应的销售量Q(百件/天)与时间x对应的点(x,Q)在如图所示的半圆上.(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数;(2)在这20天中哪一天销售收入最高?此时单价P定为多少元为好?(结果精确到1元)3.(2013年长春
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