函数的模型及其应

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1、第十节　函数的模型及其应用一、三种增长型函数模型的图象与性质二、三种增长型函数之间增长速度的比较1．指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)．在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长xn的增长，因而总存在一个x0，当x>x0时有.2．对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)．对数函数y＝logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，使x>x0时有.综上，可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此

2、在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有.快于ax>xn慢于logaxxn>logax[疑难关注]解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．1．(课本习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(

3、x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)解析：画出函数的图象，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．答案：B2．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则下列函数与x，y的函数关系最接近的是(其中a，b为待定系数)()A．y＝a＋bxB．y＝a＋bxC．y＝ax2＋bD．y＝a＋解析：由表格数据得，模拟函数为y＝a＋bx.答案：B3．(2013年长春模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价

4、，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B.答案：B4．(2013年银川模拟)某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1690万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，2013年预计经营总收入为________万元．答案：13005

5、．(课本习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．答案：y＝a(1＋r)x，x∈N*1．(2013年浙江金华十校期末)有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________．(围墙厚度不计)解析：本题是实际问题，建立函数关系即可．设矩形场地的宽为xm，则矩形场地的长为(200－4x)m，面积S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2500.故当x＝25

6、时，S取得最大值2500，即围成场地的最大面积为2500m2.答案：2500m2考向二　分段函数模型[例2](2013年日照模拟)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说

7、明理由．2．(2013年鹤壁模拟)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求，进行了20天的测试，人为地调控每天产品的单价P(元/件)：前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝)，后10天呈直线上升，其中4天的单价记录如下表：而这20天相应的销售量Q(百件/天)与时间x对应的点(x，Q)在如图所示的半圆上．(1)写出每天销售收入y(元)与时间x(天)的函数；(2)在这20天中哪一天销售收入最高？此时单价P定为多少元为好？(结果精确到1元)3．(2013年长春