再探“高超”的数学解题策略---以退为进(孙贤忠)长沙市一等奖.doc

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1、再探“高超”的数学解题策略---以退为进作者孙贤忠（湖南省长沙市第七中学，邮编410003）【摘要】：通过对数学问题进行观察、联想，我们往往从整体上把握住问题，形成解题的初步（有时甚至只是模糊的）策略（解决问题的想法，解决问题的方向，解答的范围等等）。以退为进就是将解题的初步策略付诸实施，试探是否可行，是否有进展，是否可以接近解题目标，是否能缩小解答所在的范围等等，这样一步一步地探索，直至找到解题途径。【关键词】：以退为进策略联想观察尝试【正文】：以退为进是探索式思维的一种重要方法，在解题中如何着手进行以退为进

2、？下面几种一般的以退为进方法常常被采用。一、简单化，化难为易常见的解数学题的探索过程是连续化简过程，因此，将难题简化是以退为进的一个基本方法。1、从简单情形入手首先考虑符合题意的最简单情形，以退为进找出这种情形的解法，然后再过渡到一般情形。例1设m、n是任意实数，试在平面上找出所有这样的点，它位于方程x2+y2-2mχ-2ny+4(m-n-2)=0表示的曲线系中的每一曲线上。分析显然，我们所要寻找的点就是曲线系中所有曲线的公共点，其坐标应满足曲线系的方程（不论m、n是什么实数）。既然如此，所求的点就应该在曲线系

3、中的任一曲线上，于是，我们先以退为进考虑m1=n1=0和m2=0,n2=1两种简单情形，相应地得到曲线系中的两条曲线：c1:x2+y2-8=0,c2:x2y2-2y-12=0而所求的点必定是c1和c2的交点，将c1与c2的方程联立解得x1=2x2=-2y1=-2y2=-2于是，一般情形（m、n为任意实数），就变成判别P（2，-2）、Q（-2，-2）是否为所寻找的点，代入原方程知，只有p点的坐标在不论m、n是什么实数时都满足方程，因此它位于曲线系中的每一条曲线上。2、将复杂问题分解为几个简单问题复杂的综合问题分解

4、为几个简单问题复杂的综合问题，往往是由一些较简单的问题巧妙地揉合而成的，因此，要善于通过观察，将它分解成几个小问题，各个击破后再综合起来。例2设=10-5+a2-+1，求证：对于一切实数，都有>0。分析本题为多项求和，各项是同底幂，于是联想到指数涵数y=x的性质，以退为进用指数函数增减性来证题，但指数函数y=x的增减性与底数有关，因此，我们将问题分解成如下向种情况来讨论。①当<0时,的偶次幂为正,奇次幂为负,于是f(a)=10+(-)5+2+(-)+11即f(a)-1>0②当=0或1时,f(a)=1>0③当0<

5、<1时,y=x为减函数，5<2,于是f(a)=+（-）+（1-）>0；④当>1时,y=x为增函数，10>5，2>，所以f(a)=（10-5）+（2-）+1>0.综合①,②,③,④,对一切实数都有f(a)>0.二、特殊化，寻找突破口对于某些数学问题，先找出符合题意的特殊值，特殊图形，特殊位置来进行试探，往往能得到启示，找到解题算途径。1、分析特例，寻求启示例3如图，设两圆o1o2内切于A，其半径分别为R、r（R>r），任作一直线垂直于连心所在的直线，并使其在连心线同侧分别交⊙o1、⊙o2于B、C。求证：△ABC外

6、接圆的面积是定值。EB’PEBACF2O1OEB’PEBACF2O1O分析对于这个问题，我们先在特殊位置来考察“定值”，连心线o1o2过A点，设它与⊙o1、⊙o2分别交于E、F，过F作FB/垂直于o1o2,此时,B、C的特殊位置为B/、F，△AB/F是△ABC的特殊位置，其外接圆的直径是AB/，显然AB/2=AE·AF=4R·r是定值，从而面积也是定值，对于一般情形，连结EB、FC并延长交于P，因为∠ABP=∠ACP为直角，所以A、C、B、P四点共圆，从而AP是△ABC外接圆直径，由特殊情形得到启示，只要证明A

7、P2=AE·AF即可，而这不难通过相似三角形来加以证明。2、利用特例，奠定基础从所周知，数学归纳法是用特例奠基的，有的题目虽然不用数学归纳法，但解题时可先讨论一种简单特例，然后把一般情形化归为特例，以退为进。例4如图，设△ABC的外心为0，垂心为H，BC求证；OM=1/2AHBCAA’MOH分析观察图形的各种情形，发现当O在AB边上时，证明最为简单，可以联想到把一般情形化为这种特殊情形来证明，为此，连结BO，并延长交圆周于A/，对△A/BC而言，垂心H与C重合，显然有OM=A/C，再证AH=A/C即可，而这不难

8、通过证明AHCA/是平行四边形而得到。例4已知函数的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明，使一切x∈R都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。例5已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有