《哈密顿力学》ppt课件

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1、§4哈密顿动力学1正则方程2守恒原理3泊松括号和泊松定理4刘维定理5哈密顿原理6正则变换7哈密顿—雅可比原理拉格朗日动力学哈密顿动力学从量纲来分析：能量×时间=作用量1.哈密顿正则方程完整、保守的系统，动力学方程为拉格朗日方程是广义坐标的二阶微分方程，可改写为广义动量定义为2s个一阶微分方程作为系统的动力学方程用广义坐标和广义动量来代替广义坐标和广义速度一、正则方程从广义动量的定义解出广义速度系统的动力学方程，但形式由广义坐标的选取来确定哈密顿正则方程二、特性函数三、勒让德变换两个自变量的函数四个变量之间的两个方程，其中的2个是独立的以

2、u，y为独立变量，则构造一个新的函数因此旧独立变量旧独立变量新独立变量不要的原独立变量=新函数新独立变量=新的不独立变量原不独立变量=--新函数新独立变量旧函数保留的独立变量==保留的不独立变量比较将f换成g后第一式：u与x对易第二式：加负号这种由一组独立变量(x,y)变为另一组独立变量(u,y)的变换成为勒让德变换勒让德变换指出：独立变量改变，相应的函数本身随之改变，这样不独立变量仍可以用独立变量的偏导数表示由勒让德变换给出正则方程：拉格朗日变量：哈密顿变量：新函数新的独立变量不要的原独立变量旧函数根据前面我们得到的勒让德

3、变换有：这些勒让德变换只是数学内容，考虑拉格朗日方程，则有哈密顿量H=Ep+Ek动量定义牛顿第二定律p…广义动量x…广义位移即：哈密顿正则方程：一维弹簧振子的运动哈密顿变量：哈密顿正则方程哈密顿函数：拉格朗日变量：哈密顿变量：对比可得考虑拉格朗日方程，因此有：2.守恒原理一、能量积分哈密顿量：对时间求微商：考虑正则方程也就是说，哈密顿函数H中不显含时间t，则有表示一积分常数广义能量守恒由拉格朗日动力学可知稳定约束：体系机械能守恒不稳定约束：广义能量守恒二、循环积分，可遗坐标若哈密顿函数H中不显含某一广义坐标则由正则方程，立即有也就是这就

4、是哈密顿动力学中的广义动量守恒原理拉格朗日动力学：拉格朗日函数中不显含某一广义坐标哈密顿动力学：哈密顿函数中不显含某一广义坐标广义动量守恒原理的条件：这两个条件实际上是等价的即在L和H中，若其一不含广义坐标则另一必定也不含有可遗坐标对应的广义动量守恒不含于L或H的广义坐标称为可遗坐标若体系某一广义动量守恒，给问题的求解带来方便，这在拉格朗日动力学和哈密顿动力学中是相同的，但在哈密顿动力学中更适合于处理可遗坐标；拉格朗日函数中虽然可以含有可遗坐标，但是可以含有相应的广义速度，问题仍然是s个自由度；而哈密顿函数中，不仅不含有可遗坐标，而相应

5、的广义动量是个常数，因此这一自由度相当于已经解出，只要求解其他自由度即可。可见在哈密顿动力学中可遗坐标才是正真的可以忽略想一想：为什么不讨论L中不显含，或H中不显含的问题？例1质量为M的楔子置于光滑的水平桌面上.楔子底面也是光滑的,斜面却是粗糙的,质量为m,半径为R的圆柱体沿着楔子斜面无滑动地滚下.求解楔子和圆柱体的运动.解楔子可在水平方向运动.取桌面上的固定点O为原点,把楔子的质心(其实不一定要质心，改为楔子的任一点也行)相对于O点的水平坐标记作X.圆柱体可在楔子的斜面上滚动.把圆柱轴相对于楔子斜面上端并沿斜边计算的坐标记作q,把圆柱

6、某根半径与竖直向下之间的夹角记作,无滑动这个约束条件可写为这个运动约束可以积分为故,这是一个完整约束,q和不独立.这个系统有两个自由度,可以选x和是两个独立的广义坐标.主动力都是重力.圆柱体的势能楔子的动能为圆柱的动能包括质心的平动动能和绕质心转动的转动动能所以按定义,广义动量所以得到广义速度于是,系统的哈密顿函数哈密顿函数不含有广义坐标X,所以X是循环坐标,相应的广义动量守恒此时对的正则方程为:所以这是匀加速转动,积分一次简单推导,可得例2：写出粒子在中心势场V=-a/r中哈密顿函数和正则方程。解：自由度是2，广义坐标r、。

7、广义动量：中心势场粒子的能量守恒，因此粒子的哈密顿函数为：可以解得正则方程：该题还可解得粒子的径向运动方程．角动量守恒定律．[例3]分别用笛卡儿坐标、柱面坐标和球面坐标写出一个自由质点在势场V()中的哈密顿函数H。解:体系为质点，自由度数s＝3。（1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标，则拉格朗日函数L为（2）在柱面坐标系中L=T－V（3）在球面坐标系中,V=V（r，，）V（r，，）[例4]求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数。设两原子之间相互作用的弹性力为F=－k（r－r0）其中r为两原子间距离，r0为两原子处在平

8、衡时的距离。解:为了求出拉格朗日函数，应先求分子的动能。T=Tc＋T两原子相对质心的动能质心动能把两原子相对质心的动能转换为m2相对于m1的运动。L=T－V[例5]一质量为m的自由质点，受力为位矢，k为大