信赖区间与信心水准的解读

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1、＜信賴區間與信心水準的解讀＞一、從常態分配談起國文英文數學物理化學生物平均A生85976174727276.8班平均63.474.063.061.971.770.867.5標準差11.014.913.111.614.310.19.2為何成績單只要有個人成績加上平均數、標準差，就足夠估計學生大約的名次？例：A生成績（全班40人）由資料可知，A生平均分數距離全班平均分數約個標準差。由68-95-99.7的法則可知，A生的百分等級約為68+(100-68)/2=84，全班排名約為40(100-84)%≒6名為何可以如此估算？我們假設全班成績分佈為一常態分佈設常態分配的期望值為m、變異數為s2

2、，則常態分配的機率分配函數是標準常態分配標準常態分配累積機率表0zpp上面的標準常態累積機率表，是由平均值為0、標準差為1的標準常態分配機率密度函數（上圖中的f(x)），計算從-∞到zp曲線下的面積而得，通常記作F(zp)，因此上表可以寫成F(zp)=p。以z=1.96為例，F(1.96)≒0.975，所以在平均值前後1.96個標準差的機率為0.975−0.025=0.95。標準常態分配累積機率表1.96-1.9600.9501.960.9750.025大學聯考的統計資料已知X≒54.63s≒13.73某生國文成績為24.7分這個分數距離平均值個標準差。利用常態分配表推知他的百分等級是2

3、.5%，但由大考中心資料得知他實際的百分等級是4%上述兩個例子是用常態分配去近似班級考試分配及大學指考分配，但只是近似，顯然不可能完全正確推算名次。二、信賴區間的簡介某次民意調查發表之記者會特安排在十月四日「世界動物日」當天，以凸顯對解決流浪狗問題的迫切性，在1111份回收問卷中，其中的一個問題為：您願不願意以實際行動來照顧住家附近的流浪狗/貓？願意140(12.6%)不願意971(87.3%)以樣本比例來代表母體的真正比例p合理嗎？願意照顧流浪動物的民眾真的是12.6%嗎？區間估計92年7月19日，某報就『成年人對公立大學學費是否太貴』的議題進行調查，於20日報導：『成功訪問了871位

4、成年人。在百分之九十五的信心水準下，有46%民眾認為學費太貴，抽樣誤差在正負3.3%之內』，而該調查是以台灣地區住宅電話為母體作尾數兩位隨機抽樣。這並不代表「認為公立大學學費太貴的民眾比例在(0.427,0.493)這個區間範圍內」我們每次做抽樣調查時都可以做出一個區間估計，而每次做出區間會涵蓋實際比例的機率為95%。但是，這些區間與95%如何求出？信賴區間的實驗老師為全班每個同學各準備一籤筒，事先不讓學生知道籤筒裡放了幾支籤，內含若干有獎籤，然後做一次實驗：每個同學在籤筒內抽取一支籤，記錄是否為有獎籤後放回，連續抽取20次。記錄內容必為下列表格其中一列：區間公式對照表（n=20）區間半

5、徑=中籤數中籤比例區間半徑左端點右端點100.500.2190.2810.71900.000.0000.0000.000110.550.2180.3320.76810.050.0960.0000.146120.600.2150.3850.81520.100.1310.0000.231130.650.2090.4410.85930.150.1560.0000.306140.700.2010.4990.90140.200.1750.0250.375150.750.1900.5600.94050.250.1900.0600.440160.800.1750.6250.97560.300.2010

6、.0990.501170.850.1560.6941.00070.350.2090.1410.559180.900.1310.7691.00080.400.2150.1850.615190.950.0960.8541.00090.450.2180.2320.668201.000.0001.0001.000舉例：若一學生抽20次得到9次有獎籤，則中籤比例為9/20=0.45，區間半徑為區間為[0.45-0.218,0.45+0.218]，即[0.232,0.668]0.60.70.80.91.00.50.40.30.20.10信賴區間圖右圖中，全班40個學生每個人都得到一個區間，如果老師事

7、先知道p=0.6，那麼從圖中可知，有35個區間包含真實的p值。全班40個學生包含p值區間個數的期望值為400.95=38個00.10.20.30.40.50.60.70.80.9112345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940的公式是如何得來的？首先，1.96的由來是因為在平均值前後1.96個標準差所佔比例約為95%。單獨一次抽籤的標準