8.2空间点线面之间位置关系

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1、.§8.2　空间点、线、面之间的位置关系教学目标1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．学习内容知识梳理1．平面的基本性质及推论(1)平面的基本性质：基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．(2)平面基本性质的推论：推论1

2、：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(2)判断两直线异面：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．(3)异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a

3、，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和异面垂直．例题讲解题型一　平面基本性质的应用......例1　如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．思维启迪　(1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面；(2)可以先证CE与D1F交于一点，然后再证该

4、点在直线DA上．证明　(1)连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF

5、质3是证明三线共点或三点共线的依据．巩固　(1)以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3(2)a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定________个平面．答案　(1)B　(2)9解析　(1)①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．

6、这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．(2)∵a、b是异面直线，∴a上任一点与直线b确定一平面，共5个，b上任一点与直线a确定一平面，共4个，一共9个．题型二　判断空间两直线的位置关系例2　如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：......(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(

7、2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．思维启迪　第(1)问，连接MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法．解　(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异

8、面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．思维升华　(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．巩固　(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(　　)A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN