《相平面分析》ppt课件

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1、非线性系统分析NonlinearSystemsAnalysis北京理工大学自动化学院2.1相平面的基本概念2.2相轨迹的绘制方法2.3奇点与极限环2.4线性系统的相轨迹2.5非线性系统的相平面分析第二章相平面分析方法背景及应用相平面法由庞加莱1885年首先提出。该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。相轨迹的绘制方法步骤简单、计算量小，特别适用于分析常见非线性特性和一阶、二阶线性环节组合而成的非线性系统相平面法概述相平面法是

2、一种求解一、二阶常微分方程的图解法,即二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动,通过研究这个点移动的轨迹,就能获得系统运动规律的全部信息.相平面法可以用来分析一、二阶线性或非线性系统的稳定性、平衡位置、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响.式中,是的线性或非线性函数.设二阶系统的常微分方程如下：2.1相平面法的基本概念由微分方程的理论可知，只要是解析的，那么在给定的初始条件下，方程的解是唯一的。这个唯一的解可以写成时间解的形式——x(t),也可以写成以t为参变量的形式，用来表示。tx(t)方程

3、的解x3.相平面图：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统的相平面图。它表示系统在各种初始条件下的运动过程。2.相平面:平面称为相平面。对于一个系统，初始条件不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。1.相轨迹：如果我们取x和作为平面的直角坐标，则系统在每一时刻的均相应于平面上的一点。当t变化时，这一点在平面上将绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。它描述系统的运动过程。二阶系统微分方程：两个独立变量：位置量速度量构成相平面为相变量。给定初始条件相变量在相平面上的运

4、动坐标轨迹称为相轨迹。相平面分析方法:由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析：3）稳态误差。下面举二个例子进行说明：1）系统的稳定性；2）瞬态响应性能；例2-1.设系统的微分方程为：图中的箭头表示系统的状态沿相轨迹的移动方向。其相平面图如右图所示（绘制方法在下节介绍）相平面图1x0pDABCE（1）在各种初始条件下（任意一条相轨迹），系统都趋向原点（0,0）,说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。由图可知：可将其状态转化为转化为时间响应曲线x(t)来验证如图所示（2）如果初始条件为：x(

5、0)=1，。则相应的相轨迹为ABCDE0。系统的瞬态响应为阻尼振荡形式，最大超调量为p，稳态误差为零。10x(t)tABCDE时间响应曲线一、相轨迹的共同特性1.相轨迹的对称性设二阶系统的方程为：改写为：两边除以可得：----相轨迹的斜率方程相轨迹的对称性可以从对称点上相轨迹的斜率来判断。2.2相轨迹的绘制方法即是的偶函数----相轨迹对称于x轴的条件。1）若相轨迹对称于x轴。则在所有的对称点和上，相轨迹的斜率应大小相等，符号相反。即：x0相轨迹对称于x轴2)若相轨迹对称于轴，则：0相轨迹对称于轴即是的奇函数----相轨迹对称于轴的条件。3）若相

6、轨迹对称于原点，其条件是：对称点上的斜率应大小相等，符号相同。相轨迹对称于原点x02.相平面上的奇点这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。（即相轨迹曲线不会在普通点相交）若相平面中的某点，同时满足,则该点相轨迹的斜率,为不定值，这类特殊点称为奇点。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。由相轨迹的斜率方程可知,相平面上的点只要不同时满足,则该点相轨迹的斜率是唯一确定的。二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。二阶非线性系统：奇点可能不止一个。例：二阶系统作出该系统的相平面图。解：因为斜率方程初值（0,10）和（0,-10）。二、解析

7、法作图方程不显含时，采用一次积分法得相轨迹方程作图方程为因为代入方程两边一次积分，得相轨迹方程例：二阶系统为作相平面图。解方程不显含，由解析法有一次积分相轨迹方程为椭圆方程三、绘制相平面图的图解法当用解析法求解微分方程比较困难，甚至不可能时，可采用图解法绘制相平面图。它有：下面介绍等倾线法:原理：任一曲线都可以用一系列足够短的折线来近似，如果我们能用简便的方法求得相平面中任意一点相轨迹的斜率，就能画出通过该点相轨迹的切线，并用它来近似该点及其附近的相轨迹曲线。如果点取得足够密，就能用一系列的切线来近似相轨迹曲线了。（2）园弧近似法(略)（1）等倾线

8、法等倾线法作图步骤：1）首先画出等倾线----确立相平面中相轨迹斜率的分布；等倾线：在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线,