《分布及其应》ppt课件

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1、第二节Poisson分布及其应用一、Poisson分布及其特征Poisson分布(Poissondistribution)是一种离散分布。常用于研究单位时间或单位空间内某罕见事件发生次数的分布。一、Poisson分布及其特征Poisson分布(Poissondistribution)是一种离散分布。常用于研究单位时间或单位空间内某罕见事件发生次数的分布。常见的Poisson分布现象有：每滴海水中浮游生物数量的分布；用显微镜观察片子上每一格子上细菌繁殖数的分布；某些野生生物或昆虫数在单位空间中的分布；某种患病率或死亡率很

2、低的非传染性疾病的患病人数或死亡人数的分布等。(一)Poisson分布的定义如果在足够多的n次独立Bernouli试验中，随机变量X所有可能的取值为0，l，2，…，取各个取值的概率为(5.14)则称X服从参数为μ的Poisson分布，记为X~P(μ)。其中X为单位时间(或面积、容积等)某稀有事件发生数，e=2.7183，μ是Poisson分布的总体均数。例5.11若某非传染性疾病的患病率为18／万，试根据Poisson分布原理求1000人中发生k=0，1，2阳性数概率。μ=nπ=1000×0.0018=1.8(二)P

3、oisson分布的图形由图可见，Poisson分布图形形状完全取决于μ的大小。当μ=10时，图形基本对称，随着μ增大，图形渐近于正态分布(三)Poisson分布的性质1.Poisson分布的方差等于均数，即σ2=μ。2.Poisson分布的可加性。对于服从Poisson分布的m个相互独立的随机变量Xl，X2，…,Xm它们之和X1+X2+…+Xm也服从Poisson分布，且均数为m个随机变量的均数之和。例5.12某放射性物质每0.1s放射粒子数服从均数为2.2的Poisson分布，现随机取3次观测结果为2，3及4个粒子数

4、，请问每0.3s放射粒子数为多少?利用Poisson分布的可加性原理得到，Xl+X2+X3=2+3+4=9个均值为2.2+2.2+2.2=6.6每0.3s放射粒子数为9个。(四)Poisson分布与二项分布及正态分布的关系1.Poisson分布可视为二项分布的特例若某现象发生率π小，而样本例数多时，则二项分布逼近Poisson分布。2.Poisson分布的正态近似一般在实际应用中，当μ≥20时，Poisson分布近似正态分布。二、Poisson分布的应用(一)总体均数的估计1.点估计直接用单位时间(空间或人群)内随机事

5、件发生数X(即样本均数)作为总体均数μ的估计值。2.区间估计（1）正态近似法（X>50）当Poisson分布的观察单位为n=1时，当Poisson分布的观察单位为n>l时例5.14用计数器测得某放射物质半小时内发出的脉冲数为360个，试估计该放射物质每30min平均脉冲数的95％可信区间。即该放射物质每30min平均脉冲数(个)的95％可信区间为(322.8，397.2)。(2)查表法如果X≤50时，样本资料呈Poisson分布，可查阅附表4。例5.15对某地区居民饮用水进行卫生学检测中，随机抽查1mL水样，培养大肠杆

6、菌2个，试估计该地区水中平均每毫升所含大肠杆菌的95％和99％可信区间。本例，X=2<50，查附表4，95％可信区间为(0.2，7.2)；99％可信区间为(0.1，9.3)。(二)单个总体均数的假设检验1.直接计算概率法根据Poisson分布的概率分布列计算概率或累积概率，并依据小概率事件原理，作出统计推断。例5.16某罕见非传染性疾病的患病率一般为15／10万，现在某地区调查1000人，发现阳性者2人，问此地区患病率是否高于一般。H0：此地区患病率与一般患病率相等；H1：此地区患病率高于一般患病率；单侧α=0.05本

7、例，n=1000，π0=15／10万，μ0=nπ0=0.15，则在Ho成立前提下，所调查的1000人中发现的阳性数X~P(0.15)，则有P(x≥2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]=1-(0.8607+0.1291)=0.0102故：1000人中阳性数不低于2人属于小概率事件。2.正态近似法当μ≥20，Poisson分布近似正态分布，可利用正态近似原理分析资料。例5.17某种儿童化妆晶含细菌数不超过500个／ml为合格品，现检测此种儿童化妆晶1ml菌数450个，问此种化妆品是否合格。Ho：此种化妆品不合格，即μ=

8、μ0H1：此种化妆品合格，即μ<μ0单侧α=0.05本例以1mL儿童化妆晶为一个Poisson分布观察单位。按式(5.21)得：按单侧α=0.05水平拒绝Ho，接受H1，认为此种化妆品合格。