第三章异方差与自相关广义线性模型.doc

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1、第三章异方差与自相关广义线性模型本章继续讨论线性模型Y=Xβ+ε,E(ε)=0（3.0.1）所不同在于以前的关于误差方差的假定是Var(ε)=σ2In（3.0.2）这一章逐次推广讨论。第一节讨论异方差的存在与检验，尤其是在经济模型资料中的存在与影响，第二节讨论的是已知（3.0.3）未知（3.0.4），未知（3.0.5）这些都是误差方差为对角阵的模型。第三节讨论自相关线性模型。首先讨论的是残差一阶自回归线性模型，它的残差满足（3.0.6）（3.0.7）此时残差εi的方差虽不为对角阵，但只含一个参数。接着我们介绍自回归条件异方差

2、(ARCH)模型，它的误差假设是（3.0.8）（3.0.9）因为模型计算中用到了广义矩估计方法(GMM)，我们在第四节又介绍了GMM。第五节讨论的是未知，M已知（3.0.10）第六节讨论的是未知，M已知（3.0.11）所讨论的内容还是各种回归模型、算法及性质。第一节异方差的存在与检验一、异方差的存在与影响前面介绍的线性回归模型，都是假定随机误差项εi独立同分布，有相同的方差(Homoscedasticity)（3.1.1）但是实际抽样很难保证这一点。经济对象千差万别，可以按不同标准划分成不同的群体。这些群体间的差别导致样本方

3、差不一致，于是就有所谓异方差(Heteroscedasticity):（3.1.2）反映在散点图上，如下图可以明显看出样本方差与点(Xi,Yi)有关，随着样本数值增大而增大。图3.1.1.1由于样本方差的差异，原来最小二乘估计的一些优良性质不再存在。如在一元线性回归（3.1.3）我们知道最小二乘估计（3.1.4）（3.1.5）于是（3.1.6）（3.1.7）现在Var(Yi)不是常量，我们就无法证明是最小方差线性无偏估计。显著性检验也成了问题。原来构造的F统计量是分子分母都含有未知参数σ2,可以分别提取公因式再约去，现在是异

4、方差，按原来方法构造的F统计量里的未知参数无法直接约去，预测精度也无法保证。差不多原来推导的各种统计方法、统计性质由于基础动摇而都需重新考虑。因此我们需要将一般线性回归模型推广。不过在推广之前，首先要解决异方差的检验问题。二、异方差的检验异方差的检验一般需要比较大的样本，一般都是作所谓残差分析。图3.1.2.1最简单直观的方法是将残差平方（3.1.8）与画在一张图上，大致可以看出残差是否发生改变。图3.1.2.1除了第1个图外，其余图像都指示有异方差。还有一些方法对异方差问题作统计检验。1.Park检验R.E.Park建议将

5、看作解释变量X的函数，并使用函数形式为（3.1.9）或取对数其中是随机分布项。因为未知，就用残差项的平方代替对上式作回归，并作假设检验。若β=0成立，则认为异方差不成立；若β≠0成立，则认为异方差成立。Park检验要作两次最小二乘，第一次是对原始资料对(Xi,Yi),获得；第二次是对()。从某种意义上讲，是用第二次最小二乘去否定第一次最小二乘，用第二次假设去否定第一次假设。类似的还有Glejser检验，不过使用的回归方程不一样。2.BreuschPaganGodfrey(BPG)检验这里考虑的是多元问题，基本思想差不多。设原

6、始资料满足模型（3.1.10）先用普通最小二乘获得，作（3.1.11）注意这里不是。然后定义变量（3.1.12）用pi与Xji去作回归（3.1.13）而获得回归平方和SES,定义统计量（3.1.14）可以证明在正态假设下，当样本容量充分大时，有渐近分布：（3.1.15）于是对给定显著性水平，当超过分布的临界值时，就拒绝同方差假设，接受异方差假设。算例3.1.2消费-收入异方差资料的BPG检验在文献［1］里，收有一组消费(Y)与收入(X)的资料，共60对，要求作异方差检验。表3.1.2消费(Y)，收入(X)资料YXYXYX55

7、.80.152.220.95.140.65.100.144.210.108.145.70.85.175.245.113.150.80.110.180.260.110.160.79.120.135.190.125.165.84.115.140.205.115.180.98.130.178.265.130.185.95.140.191.270.135.190.90.125.137.230.120.200.75.90.189.250.140.205.74.105.55.80.140.210.110.160.70.85.152.22

8、0.113.150.75.90.140.225.125.165.65.100.137.230.108.145.74.105.145.240.115.180.80.110.175.245.140.225.84.115.189.250.120.200.79.120.180.260.145.24