第一讲微分中值定理

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1、WORD格式第一讲微分中值定理教学目的使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能应用罗尔定理,拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和解决一些简单问题.教学重点使学生深刻理解微分中值定理的实质.教学难点拉格朗日中值定理的证明.教学学时2学时教学过程上一章我们学习了导数的概念,并讨论了导数的计算方法.学习的目的在于应用,这一章我们来学习导数的应用,首先学习微分中值定理,他们是导数应用的理论基础.微分中值定理包括:罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理,简称微分中值三定理.一、罗尔定理我们首先来观察一个图形,见图1.设

2、图1中曲线弧是函数专业资料.整理分享WORD格式的图形.这是一条连续的曲线弧,除端点外处处具有不垂直于X轴的切线,即在内处处可导.且两端点处的纵坐标相等,即.可以发现在曲线弧的最高点或最低点处,曲线都有水平的切线.如果记曲线弧的最高点的横坐标为,则.若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来,就得到了下面的罗尔(Rolle)定理.罗尔定理若函数满足(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导;(3)在区间端点处的函数值相等,即,则在内至少存在一点,使得.为了给出罗尔定理的严格证明,我们首先需要学习下面的引理,它称为费马定理.费马定理设

3、函数在点的某邻域内有定义,并且在处可导,如果对任意的,有,则.分析专业资料.整理分享WORD格式为了利用函数值的大小关系得出导数的结论,显然应该考虑使用导数的定义.不妨设时,.于是,对于,有,从而当时,;当时,.由于函数在处可导,上述两式的左端当时极限皆存在,因此由极限的保号性知,.所以,.类似地可证明时,的情形.通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点).费马定理告诉我们,若函数在点可导,且函数在点处取得了局部的最大值或最小值,则函数在点处的导数一定为零,即.由图1知,函数在处取得了局部的最大值.因此,根据费马定理不难

4、证明罗尔定理.罗尔定理的证明由于在上连续,所以专业资料.整理分享WORD格式在上必定取得它的最大值和最小值.这样,只有两种可能的情形:(1).此时对于任意的,必有.故对任意的,有.因此,内任一点皆可作为我们找的.(2).因为,所以和中至少有一个不等于.不妨设,则在内必有一点,使得.又因为对于任意的,有,且存在.故由费马定理知,.类似可证的情形.罗尔定理成立.例1不求出函数的导数,说明方程有几个实根,并指出它们所在的区间.分析讨论方程的根的问题,通常考虑用罗尔定理,因为由罗尔定量的结论知,实际上是方程的根.而讨论这类问题的基本思路是

5、,在函数可导的范围内,找出所有端点处函数值相等的区间.而由罗尔定理知,在每个这样的区间内至少存在一点,使得.即为方程的一个实根,同时也得到了这个实根所在的范围.对于本问题来说,根据代数学基本定理,方程专业资料.整理分享WORD格式至多有两个实根.而由函数的表达式知,.因此,和就是我们所要找的区间,在这两个区间内各有方程的一个实根.解因为在和上连续,在和内可导,且,所以由罗尔定理知,在内至少存在一点,使得,在内至少存在一点,使得.和都是方程的实根.又由代数学基本定理知,方程至多有两个实根,所以方程必有且只有两个实根,它们分别位于和内

6、.小结利用函数的性质讨论的根(也称为的零点),应用罗尔定理是一个常用方法.二、拉格朗日中值定理罗尔定理中这个条件是相当特殊的,也是非常苛刻的.由于一般的函数很难具备这个条件,因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制.我们可以设想一下,若把条件适当放宽,比如把这个条件去掉,仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件,那么相应的结论会发生什么变化呢?为了更好地讨论这个问题,我们先从几何直观入手,见图2.专业资料.整理分享WORD格式设图2中曲线弧是函数的图形,它是一条连续的曲线弧,除端点外处处具有不垂直于轴的切线,并且两端点处的纵坐标不相等,即

7、.不难发现在曲线弧上至少有一点,使曲线在点c处的切线平行于弦.若记点的横坐标为,则曲线在点处切线的斜率为.而弦的斜率为.因此.若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来,就得到了下面的拉格朗日中值定理.拉格朗日中值定理若函数满足专业资料.整理分享WORD格式(1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得.  (1)从图1可以看到,在罗尔定理中,由于,弦是平行于轴的,因此点处的切线不仅平行于轴,实质上也是平行于弦的.由此可见,罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题.由罗尔定

8、理与拉格朗日中值定理的关系,使我们自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉格朗日中值定理中,函数不一定具备这个条件,为此我们设想构造一个与有密切联系的函数(称为辅助函数),使满足条件及罗尔定理的另外两个条件,并对应用罗尔定理,然后再把对所

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