第一讲 微分中值定理

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1、-第一讲微分中值定理教学目的使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能应用罗尔定理,拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和解决一些简单问题．教学重点使学生深刻理解微分中值定理的实质．教学难点拉格朗日中值定理的证明．教学学时2学时教学过程上一章我们学习了导数的概念,并讨论了导数的计算方法．学习的目的在于应用,这一章我们来学习导数的应用,首先学习微分中值定理,他们是导数应用的理论基础．微分中值定理包括:罗尔定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理,简称微分中值三定理．一、罗尔定理我们首先来观察一个图形，见图1.设图1中曲线弧是函数----的图形．这是一条

2、连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于X轴的切线，即在内处处可导．且两端点处的纵坐标相等，即．可以发现在曲线弧的最高点或最低点处，曲线都有水平的切线．如果记曲线弧的最高点的横坐标为，则．若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来，就得到了下面的罗尔（Ｒｏｌｌｅ）定理．罗尔定理若函数满足(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)在区间端点处的函数值相等，即，则在内至少存在一点，使得．为了给出罗尔定理的严格证明，我们首先需要学习下面的引理，它称为费马定理．费马定理设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有，则．分析----为了利用函数值的大小关

3、系得出导数的结论，显然应该考虑使用导数的定义．不妨设时，．于是，对于，有，从而当时，；当时，．由于函数在处可导，上述两式的左端当时极限皆存在，因此由极限的保号性知，．所以，．类似地可证明时，的情形．通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点)．费马定理告诉我们，若函数在点可导，且函数在点处取得了局部的最大值或最小值，则函数在点处的导数一定为零，即．由图1知，函数在处取得了局部的最大值．因此，根据费马定理不难证明罗尔定理．罗尔定理的证明由于在上连续，所以----在上必定取得它的最大值和最小值．这样，只有两种可能的情形：(1)．此时对于任意的，必有．故对任意

4、的，有．因此，内任一点皆可作为我们找的．(2)．因为，所以和中至少有一个不等于．不妨设，则在内必有一点，使得．又因为对于任意的，有，且存在．故由费马定理知，．类似可证的情形．罗尔定理成立．例1不求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间．分析讨论方程的根的问题，通常考虑用罗尔定理，因为由罗尔定量的结论知，实际上是方程的根．而讨论这类问题的基本思路是，在函数可导的范围内，找出所有端点处函数值相等的区间．而由罗尔定理知，在每个这样的区间内至少存在一点，使得．即为方程的一个实根，同时也得到了这个实根所在的范围．对于本问题来说，根据代数学基本定理，方程--

5、--至多有两个实根．而由函数的表达式知，．因此，和就是我们所要找的区间，在这两个区间内各有方程的一个实根．解因为在和上连续，在和内可导，且，所以由罗尔定理知，在内至少存在一点，使得，在内至少存在一点，使得．和都是方程的实根．又由代数学基本定理知，方程至多有两个实根，所以方程必有且只有两个实根，它们分别位于和内．小结利用函数的性质讨论的根(也称为的零点)，应用罗尔定理是一个常用方法．二、拉格朗日中值定理罗尔定理中这个条件是相当特殊的，也是非常苛刻的．由于一般的函数很难具备这个条件，因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制．我们可以设想一下，若把条件适当放宽，比如把这个

6、条件去掉，仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件，那么相应的结论会发生什么变化呢？为了更好地讨论这个问题，我们先从几何直观入手，见图2．----设图2中曲线弧是函数的图形，它是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，并且两端点处的纵坐标不相等，即．不难发现在曲线弧上至少有一点，使曲线在点ｃ处的切线平行于弦．若记点的横坐标为，则曲线在点处切线的斜率为．而弦的斜率为．因此．若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来，就得到了下面的拉格朗日中值定理．拉格朗日中值定理若函数满足----(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得．　　（１

7、）从图1可以看到，在罗尔定理中，由于，弦是平行于轴的，因此点处的切线不仅平行于轴，实质上也是平行于弦的．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题．由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系，使我们自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数不一定具备这个条件，为此我们设想构造一个与有密切联系的函数(称为辅助函数)，使满足条件及罗尔定理的另外两个条件，并对应用罗尔定理，然后再把对所得的结论转化到上，从而使拉格朗日中值定理得到证明．这就是我们所设想的证明拉格朗日中值定理的思路，那么怎样去构造辅助函数

8、呢？----若记图2中弦