高中数学：柯西不等式

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1、类型一：利用柯西不等式求最值例1．求函数的最大值解：∵且，函数的定义域为，且，　　　　即时函数取最大值，最大值为法二：∵且，∴函数的定义域为由，得即，解得∴时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解【变式1】设　且，求的最大值及最小值。　利用柯西不等式得,故最大值为10，最小值为-10【变式2】已知，，求的最值.　法一：由柯西不等式　于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式　　于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．　根据柯西不等式　　，　　故。　当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，

2、　变式4：设=(1，0，-2)，=(x，y，z)，若x2+y2+z2=16，则的最大值为　　　　　。【解】∵　=(1，0，-2)，=(x，y，z)　∴　．=x-2z由柯西不等式[12+0+(-2)2](x2+y2+z2)³(x+0-2z)2Þ　5´16³(x-2z)2　Þ　-4£x£4Þ　-4£．£4，故．的最大值为4:变式5：设x，y，zÎR，若x2+y2+z2=4，则x-2y+2z之最小值为　　时，(x，y，z)=　　　　　解(x-2y+2z)2£(x2+y2+z2)[12+(-2)2+22]=4．9=36∴　x-2y+2z最小值为-6，公式法求(x，y，z)此时∴　，

3、，变式6：设x,y,zR，若，则之最小值为________，又此时________。解析：∴最小值　　　　　　∴　　　∴变式7：设a，b，c均为正数且a+b+c=9，则之最小值为　　　　　解：()(a+b+c)Þ　()．9³(2+3+4)2=81Þ　³=9变式8：设a,b,c均为正数，且，则之最小值为________解：:　　　∴，最小值为18变式9：设x，y，zÎR且，求x+y+z之最大、小值:【解】∵　由柯西不等式知[42+（)2+22]³　Þ　25´1³(x+y+z-2)2　Þ　5³

4、x+y+z-2

5、Þ　-5£x+y+z-2£5　∴　-3£x+y+z£7故x+y+z之

6、最大值为7，最小值为-3类型二：利用柯西不等式证明不等式　基本方法：（1）巧拆常数（例1）（2）重新安排某些项的次序（例2）（3）改变结构（例3）（4）添项（例4）例1．设、、为正数且各不相等，求证：　　　　　　又、、各不相等，故等号不能成立∴。例2．、为非负数，+=1，，求证：　∴　　即例3．若>>，求证：解：，，∴，∴所证结论改为证　　　∴例4．，求证：　左端变形，∴只需证此式即可。　　　　　【变式1】设a,b,c为正数，求证：．　，即。　同理，．　将上面三个同向不等式相加得，　．【变式2】设a,b,c为正数，求证：　　于是即【变式3】已知正数满足证明。解：　又因为　　

7、在此不等式两边同乘以2，再加上得：，故。类型三：柯西不等式在几何上的应用6．△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：　　　　证明：由三角形中的正弦定理得，所以，　　　　　同理，于是左边=　。【变式】ΔABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。　　　　且　　4x+5y+6z=　　由柯西不等式(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)　　≥(x2+y2+z2)×77x2+y2+z2≥。柯西不等式等号当且仅当或时成立（k为常数，）利用柯西不等式可处理以下问题：1）证明不等式例2:已知正数满足证明

8、证明：又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故1）解三角形的相关问题例3设是内的一点，是到三边的距离，是外接圆的半径，证明证明：记为的面积，则2）求最值例4已知实数满足，试求的最值解：即由条件可得，解得，当且仅当时等号成立，代入时，时5）利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程解：①又,.即不等式①中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件，得，它与联立，可得