高中数学_柯西不等式题库

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1、柯西不等式教学题库大全基本方法（1）巧拆常数：例1：设、、为正数且各不相等。求证：（2）重新安排某些项的次序：例2：、为非负数，+=1，求证：（3）改变结构：例3、若>>求证：（4）添项：例4：求证：【1】、设，则之最小值为________；此时________。答案：-18;解析：∴∴　　之最小值为-18，此时【2】设=(1，0，-2)，=(x，y，z)，若x2+y2+z2=16，则的最大值为　　　　　。【解】∵　=(1，0，-2)，=(x，y，z)　∴　．=x-2z由柯西不等式[12+0+(-2)2](x2+y2+z2)³(x+0-2z)2Þ　5´16³(x-2z)2　Þ　

2、-4£x£4Þ　-4£．£4，故．的最大值为4【3】空间二向量，，已知，则(1)的最大值为多少？(2)此时？Ans：(1)28：(2)(2,4,6)【4】设a、b、c为正数，求的最小值。Ans：121【5】.设x，y，zÎR，且满足x2+y2+z2=5，则x+2y+3z之最大值为　　　　　解(x+2y+3z)2£(x2+y2+z2)(12+22+32)=5．14=70∴　x+2y+3z最大值为【6】设x，y，zÎR，若x2+y2+z2=4，则x-2y+2z之最小值为　　　　　时，(x，y，z)=　　　　　解(x-2y+2z)2£(x2+y2+z2)[12+(-2)2+22]=4

3、．9=36∴　x-2y+2z最小值为-6，公式法求(x，y，z)此时∴　，，【7】设，，试求的最大值M与最小值m。Ans：6【8】、设，试求的最大值与最小值。答：根据柯西不等式即而有故的最大值为15，最小值为–15。【9】、设，试求之最小值。答案：考虑以下两组向量=(2,–1,–2)=(x,y,z)根据柯西不等式，就有即将代入其中，得而有故之最小值为4。【10】设，，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。Ans：【11】设x，y，zÎR，2x+2y+z+8=0，则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2之最小值为　　　　　解：2x+2y+z+8=0　Þ　2(x-1)+2(y+2

4、)+(z-3)=-9，考虑以下两组向量=(,,)，=(,,)[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2£[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2]．(22+22+12)Þ　(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2³=9【12】设x,y,zR，若，则之最小值为________，又此时________。解：　Þ　2x-3(y-1)+z=()，考虑以下两组向量=(,,)，=(,,)解析：　∴最小值　　　　　　∴　　　∴【13】设a，b，c均为正数且a+b+c=9，则之最小值为　　　　　解：考虑以下两组向量=(,,)，=(,,)6()(a+b+c)Þ　()．9³(2+3+4)2=8

5、1Þ　³=9【14】、设a,b,c均为正数，且，则之最小值为________，此时________。解：考虑以下两组向量=(,,)，=(,,)　　　∴，最小值为18等号发生于故　　　∴　又∴【15】.设空间向量的方向为a，b，g，0

6、b+25tan2g与cot2a+9cot2b+25cot2g之最小值，请自行练习。【16】.空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为a，b，g（a，b，g均非象限角），求的最小值。解:由柯西不等式³∵　sin2a+sin2b+sin2g=2　∴　26∴　的最小值=18【17】.空间中一向量的方向角分别为，求的最小值。答72利用柯西不等式解之【18】、设x,y,zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，？答案：　　　　若又∴∴　∴【19】设rABC之三边长x，y，z满足x-2y+z=0及3x+y-2z=0，则rABC之最大角是多少度？【解】Þ　x：y：z=：：=3：5：7设三

7、边长为x=3k，y=5k，z=7k则最大角度之cosq==-，∴q=120°【20】.设x，y，zÎR且，求x+y+z之最大值，最小值。Ans最大值7；最小值-3【解】∵　由柯西不等式知[42+()2+22]³　Þ　25´1³(x+y+z-2)2　Þ　5³

8、x+y+z-2

9、Þ　-5£x+y+z-2£5　∴　-3£x+y+z£7故x+y+z之最大值为7，最小值为-3【21】.求2sinq+cosqsinf-cosqcosf的最大值与最小值。答.最大值为，最小值为-【详解】令向量=(2sinq，