2011-2015全国卷数列汇编(理科)

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1、第六章数列第一节等差数列与等比数列题型73等差、等比数列的通项及基本量的求解1.（2011全国理17-1）等比数列的各项均为正数，且，．（1）求数列的通项公式；2.（2013全国Ⅱ理3）等比数列的前项和为，已知，则（）.A.B.C.D.3.（2015全国Ⅱ理4）等比数列满足，，则（）．A.B.C.D.题型74等差、等比数列的求和题型75等差、等比数列的性质应用4（2012全国理5）已知为等比数列，，，则（）A.B.C.D.5．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)．A．3B．

2、4C．5D．66.(2014全国Ⅰ理17)已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.(Ⅰ)证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.………12分题型76判断或证明数列是等差、等比数列7.（2014全国Ⅱ理17-1）已知数列满足，．（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；7.（Ⅰ）证明：∵，∴，即：又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．∴，即题型77等差数列与等比数列的综合应用第二节数列的通项公式与求和题型78数列通项公式的求解8.（2012全国理5）已知为等比数列，，，则（）A.B.C.D.9．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的

3、前n项和，则{an}的通项公式是an＝__________.10.（2015全国Ⅰ理17-1）为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；题型79数列的求和11.（2011全国理17-2）等比数列的各项均为正数，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设…，求数列的前项和．12.（2012全国理16）数列满足，则的前项和为.13.（2014全国Ⅱ理17-2）已知数列满足，．（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明．14.（2015全国Ⅰ理17-2）为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．15.（2015全国Ⅱ理16）设是数

4、列的前项和，且,则____________________．第三节数列的综合题型80数列与不等式的综合第六章试题详解1.【解析】（1）设数列的公比为.由得，所以．由条件可知，故．由得，所以．故数列的通项公式为．2.分析先设出公比，然后根据已知条件列出方程组，求出.解析：设公比为，因为，所以所以解得故选C.3.解析由题意可设等比数列的公比为，则由得，.又因为，所以.解得或（舍去），所以.故选B.评注等差数列与等比数列的基本概念和性质是考查的重点.本题考查了等比数列的通项公式及一元二次方程的解法，注意最后一步要能将“”写成“”的形式，再提出“”.4.解析方法一

5、：利用等比数列的通项公式求解.由题意得，所以，或，.故选D.方法二：利用等比数列的性质求解.由，解得，或.所以，或，所以.故选D.5.答案：C解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴.又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴.∴m＝5.故选C.6.【解析】：(Ⅰ)由题设，，两式相减，由于，所以…………6分（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；证明时，{}为等差数列：由知数列

6、奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列令则，∴数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列令则，∴∴（），因此，存在存在，使得{}为等差数列.8.解析方法一：利用等比数列的通项公式求解.由题意得，所以，或，.故选D.方法二：利用等比数列的性质求解.由，解得，或.所以，或，所以.故选D.9.答案：(－2)n－1解析：∵，①∴当n≥2时，.②①－②，得，即＝－2.∵a1＝S1＝，∴a1＝1.∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.10.解析（1）由①可得②式①－式②得．又因为，所以．当时，，即，解得或（舍去），所以是首

7、项为，公差为的等差数列，通项公式为．11.【解析】（1）设数列的公比为.由得，所以．由条件可知，故．由得，所以．故数列的通项公式为．（2）．故，所以，所以数列的前项和为．12.分析利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解.解析因为，所以，，，，，，，，，，，，，，，，所以.13.解析：（Ⅰ）证明：∵，∴，即：又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．∴，即（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，∴∴故：14.解析（1）由①可得②式①－式②得．又因为，所以．当时，，即，解得或（舍去），所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为．（2）由可得．记数列前项和为，则．15.解析

8、根据题意，由数列的项与前项和关系得，，由已知得，由题意知，，则有，