导数derivative的概念

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1、导数及其应用◆导数Derivative的概念函数自变量函数导数其它形式例题设，求解所以如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果其结果表示是x的函数，称之为导函数。◆基本导数公式记熟、记牢、记准◆函数的和差积商的求导法则你记住了吗？特别例1设解例2解例3设解练一练求下列函数的导数◆复合函数的求导法则推广链式法则ChainRule也可以不写出中间变量例6设例7设解解因为所以可分解为所以代入由外及里，环环相扣例8设解练一练求下列函数的导数例9例10解解练一练求下列函数的导数◆高阶导数——导函数的导数函数一阶导数二阶导数三阶导数n阶导数练一练求下列函数的二阶导数解◆隐函数的导数隐函数的求导方法

2、——将方程两边同时对自变量x求导。将方程两边同时对x求导，得：解所以注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。例12求由方程确定的隐函数的导数解将方程两边同时对x求导，得：因为当x=0时，从原方程可以解得y=0所以例求由方程所确定的隐函数的导数解将方程两边同时对x求导，得：注意：y是x的函数，siny则是x的复合函数。例求由方程所确定的隐函数的导数◆幂指函数的导数两边取对数，得将方程两边同时对x求导（注意y是x的函数）得：解法2解法1转化为初等函数，直接求导法转化为隐函数，对数求导法例14一般地，幂指函数的求导，可有两种方法，都可得到一般公式：如练习设解答◆对数求导法两边取对数，

3、得两边对x求导（注意y是x的函数）得：对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。例15解练一练解◆由参数方程所确定的函数的导数注意一阶导数也是t的函数求由摆线的参数方程所确定的函数的一阶导数。解例16练习解练一练解◆单侧导数左导数右导数函数在点x0处可导左导数和右导数都存在，并且相等。例5已知解因为所以，从而◆导数的几何意义MxyoT法线是过切点且与切线垂直的直线的切线方程为法线方程为解根据导数的几何意义，所求切线的斜率为所以，所求切线方程为所求法线的斜率为所求法线方程为例6求双曲线在点处的切线方程和法线方程。即即例曲线在点处的切线平行于直线例曲线在点处的切线垂直于直

4、线例曲线在点处的法线垂直于直线◆函数的可导性与连续性的关系可导连续连续是可导的必要非充分条件故函数在点x=0处连续故函数f(x)=x在点x=0不可导解函数f(x)在某点连续，却不一定在该点可导。例7讨论函数在点的连续性和可导性。不存在例8设在点可导，求常数的值。解因为函数在x=2点可导，所以函数在该点连续。所以有又即有（1）所以代入（1）式得所以即为所求。又◆函数的微分结论：可导可微，且一般形式导数公式微分公式一一对应◆复合函数的微分法则和微分形式不变性例1解例2解例3解例4求由方程确定的隐函数的微分解两边同时微分，得即所以，所求微分为◆罗尔定理RolleTheorem(2)在开区间内可导；则

5、在内至少存在一点，使(1)在闭区间上连续(3)若函数满足：罗尔定理的几何意义连续曲线y=f(x)的弧AB除端点外处处具有不垂直x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，则曲线弧上至少存在一点C，使得曲线在该点处的切线是水平的.xy例1验证函数在区间上满足罗尔定理，并求出定理中的值。解因为函数在上连续，在内可导，且所以，函数在上满足罗尔定理而令得所以，即为所求的点。◆拉格朗日中值定理lagrangeTheorem若函数满足：(2)在开区间内可导；则在内至少存在一点，使(1)在闭区间上连续；xy几何意义:连续曲线y=f(x)的弧AB除端点外处处有不垂直x轴的切线，则弧上至少至少存在一点，使得曲线在点处的

6、切线平行弦AB。推论：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那末f(x)在区间I上是一个常数例证明证明令则在内满足Lagrange中值定理而所以而所以由Lagrange中值定理可知例2解因为所以即所以即为所求。练习解答构造有关的函数确定应用区间应用Lagrange定理计算导数后的等式转化为不等式例3解所以即所以解题思路：◆洛必达法则若属类型的极限问题，则可考虑用洛必达法则，如果存在或为，则注意：法则只能解决存在时，未定式的定值问题。即如果不存在，也不是，则法则失效。例1求下列极限型型型解原式解原式解原式例2求极限解这是型的未定式，且当时，所以，原式适当使用等价无穷小替换，再使用洛必达法则，可

7、简化极限运算。练习（1）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解题方法：将未定式变形例3求极限解原式（2）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解题方法：将未定式变形例4求极限解原式（3）形如的未定式◆其它形式的未定式的定值解题方法：将未定式先取自然对数、变形，再按情形（1）处理例5求极限解令则所以而例6求极限解令则而所以解令例7求极限则所以所以练习求下列极限（提示：利用等价无穷小替换）◆函数的单调性