从方程的角度理解线性代数

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1、从方程的角度理解线性代数用消元法解二元线性方程组一、二元线性方程组与二阶行列式①②①a22-②a12消去x2得②a11-①a21消去x1得当a11a22-a12a210时,方程组的解为二阶行列式记——Cramer法则方程组的解为当系数行列式D0时,例3计算n阶行列式Laplace[按行列展开]定理行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即>>>解三、行列式的性质性质1行列式detA与它的转置行列式detAT相等.注:由该性质可知,以下对行而言的性质,对列也成立.性质2行

2、列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.例如:推论2对n阶矩阵A,有det(kA)=kndetA.性质3若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.推论1有一行元素全为零的行列式值为零.性质4对换两行,行列式值反号.推论1有两行全同的行列式,其值为零.性质5把行列式某一行的各元素乘以同一数,然后加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.性质四、行列式值的计算(2)利用Laplace定理的降阶法.(1)化为上(下)三角形行列式的所谓化三角形法;行

3、列式的计算基本过程就是利用性质逐步简化行列式的结构.为了便于检查,引进以下记号:用ri↔rj表示对换第i,j行;用kri表示第i行乘以非零数k；用rj+kri表示把第i行的k倍加到第j行.用ci表示第i列,有相仿的记号.性质主要方法有两个:消元过程同解方程组的变化例1解线性方程组用相应的增广矩阵表示一、消元法与矩阵的初等行变换下列三种变换称为矩阵的初等行变换：矩阵的初等行变换(3)把矩阵的第i行的k倍加到第j行,用rj+kri记之.(2)用非零数k乘矩阵的第i行,用kri记之;(1)对换矩阵的第i,

4、j行,用ri↔rj记之;线性方程组的消元过程,同解方程组的变化,用相应的增广矩阵(行变换)的变化来表示,显得更加清晰.一、消元法与矩阵的初等行变换如果矩阵A经过有限次初等行变换,化为矩阵B,就称矩阵A与B行等价.增广矩阵行等价的两个线性方程组同解.解对方程组的增广矩阵施行初等行变换:例3解线性方程组此增广矩阵相应的方程组第三个方程为0=2,不可能.原方程组无解.(行阶梯形矩阵)最后,矩阵A便化为行阶梯形矩阵其中a1…ar0,r{m,n},左下方空白处元素全为零.用初等行变换化矩阵为行最简形线性方

5、程组的最简形解法将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.对于齐次线性方程组,增广矩阵改用系数矩阵即可.例5解线性方程组解化方程组的增广矩阵为行最简形:于是得同解方程组令自由未知元x2=k1,x4=k2,得原方程组的通解为mn矩阵aij:矩阵的第i行第j列的元素,用粗体大写字母表示矩阵,以上矩阵记为A(aij).简称(i,j)元.一、矩阵及其线性运算数与矩阵的乘积数k与矩阵A=(aij)的乘积称为数乘运算,记作kA,矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的线性运算.线性运算律

6、设A,B,C为同型矩阵,k,l为数,则成立(1)(2)(3)规定为二、矩阵的乘法运算设有从变元x1,…,xn到变元y1,…,ym的线性变换记称矩阵A为线性变换的系数矩阵.两矩阵的乘积设记称矩阵为矩阵A与B的乘积,记为C=AB.AB中第i行第j列的元素为A的第i行与B的第j列的乘积.线性方程组可记为矩阵形式Ax=b,其中当b0时,称方程组为非齐次的.当b=0时,称方程组为齐次的;称矩阵A为线性方程组的系数矩阵.称矩阵为线性方程组的增广矩阵.例4已知两个线性变换解求从x1,x2,x3到z1,z2,z3

7、的线性变换.所求为方阵A可逆时,其逆矩阵唯一,记为A-1.逆矩阵如果存在矩阵B,使AB=BA=E那么称方阵A为可逆的,并称B为A的逆矩阵.二、逆矩阵设A可逆,则矩阵方程AX=B有唯一解X=A-1B.设A可逆,则矩阵方程XA=B有唯一解X=BA-1.设A可逆,则线性变换y=Ax的逆变换为x=A-1y.逆矩阵的性质设A,B为n阶可逆矩阵,则有逆矩阵计算公式非奇异矩阵A可逆,且其逆矩阵为三、逆矩阵的初等变换求法设A可逆,则由定理4知,(A,E)经若干次初等行变换可化为(E,A-1).逆矩阵的初等变换求法逆

8、矩阵的初等变换求法:解例2已知求A-1.§1.4矩阵分块法用若干条横、竖线将矩阵分块,每一小块称为子矩阵.以子矩阵为元素的[形式上的]矩阵,称为分块矩阵.例1将34矩阵分块,分块法有多种.例如:22分块:23分块:解由已知

9、A

10、0,

11、B

12、0,而

13、D

14、=

15、A

16、

17、B

18、0,因此D可逆.设其中方阵X,Y分别与A,B同阶,解得因此则例5设A为n阶可逆方阵,B为r阶可逆方阵,C为rn矩阵,证明可逆,并求D-1.分块对角阵(3)A可逆的充分必要条件是Ai(i=1,…