第八章散射理论

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1、第八章散射理论本章介绍：前面讨论了薛定谔方程中的束缚态问题。而对于能量连续的散射态，能级间隔趋于零，因此一般说来，不能用微扰论来处理。另一方面，微观粒子之间的散射或称碰撞过程的研究，对于了解许多实验现象十分重要，所以，建立一套散射理论无论从实验上看，还是使理论更加完善上看，都是完全必要的。本章将分别就弹性散射和非弹性散射，按入射粒子的能量高低，分别建立不同的散射理论，并介绍了分波法和玻恩近似两种处理散射问题的近似方法。§8.1散射截面§8.2分波法§8.3分波法应用实例§8.4玻恩近似§8.5质心坐标系与实验坐标系§8.6全同粒子的散射§8.1散射截面在经典力学

2、中，弹性散射是按照粒子在散射过程中，同时满足动量守恒和能量守恒来定义的。在量子力学中，一般说来，除非完全略去粒子之间的相互作用势能，否则，动量将不守恒。因此，在量子力学中，不可能按经典力学的公式来定义弹性散射。在量子力学中，如果在散射过程中两粒子之间只有动量交换，粒子由内部运动状态决定，则这种碰撞过程成为弹性散射。如果在散射过程中粒子内部运动状态有所变化，如激发、电离等则称为非弹性散射。本章只讨论弹性散射问题。考虑一束入射粒子流向粒子射来，取粒子流入射方向为轴。为散射中心。为讨论方便起见，假定的质量比入射粒子大得多，由碰撞引起的的运动可以忽略。应当指出，散射过程

3、是两体问题。因为它涉及两个互相散射的粒子。对于两体问题，最好的处理方法是采用质心坐标系。因为在质心坐标系中，一个两体问题将被归结为一个粒子因为与质心的相互作用而被散射。另一粒子的运动可对称给出。从而归结为单体问题。如果散射中心粒子的质量比入射粒子大得多，可以认为质心就在上，这样就使问题处理简单多了。如图所示，入射粒子受的作用而偏离原来的运动方向，发生散射。图中角为散射粒子的方向与入射粒子方向的夹角，称为散射角。单位时间内散射到面积元上的粒子数应与成正比，而与到点的距离的平方成反比，即与对所张的立体角成比例：同时，还应与入射粒子流强度成正比。粒子流强度：垂直于入射

4、粒子流前进方向去一单位面积，单位时间内通过的粒子数。于是以表示这个比例关系中的比例系数，在一般情况下，它与观察方向有关，因而上式可写为当强度固定时，单位时间内散射到方向的粒子数由决定。它与入射粒子、散射中心的性质以及它们只见的相互作用和相对动能有关。它的物理意义：一个入射粒子经散射后，散射到方向单位立体角的几率。它的量纲可由（8.1.3）式中其他各量的量纲得出（8.1.4）即具有面积的量纲。我们称为微分散射截面。如果在垂直与入射粒子流方向区面积，则单位时间内穿过这个面积的粒子数等于。将对所有的方向积分，得（8.1.5）称为总散射截面。上述微分散射截面和总散射截面

5、的定义，在量子力学和经典力学中同样适用。下面我们讨论量子力学中如何由解薛定谔方程来定散射截面。取散射中心为坐标原点，用表示入射粒子与散射中心之间的相互作用势能，则体系的薛定谔方程为（8.1.6）式中是入射粒子质量，是它的能量，为方便，令（8.1.7）则（8.1.6）式可改写为我们观察被散射粒子都是在离开散射中心很远的地方，所以只需讨论时的行为就够了。假设时，，即粒子在远离散射中心时，两者之间的相互作用趋于零。这样，在的地方，波函数应由两部分组成：一部分是描述入射粒子的平面波；另一部分是描述散射粒子的球面波函数（8.1.9）这个波是由散射中心向外传播的，这里考虑的

6、是弹性散射。所以散射波的能量没有改变，即波矢的数值不变。上式中仅是的函数与无关。取，则，这表明每单位体积只有一个入射粒子。入射波的几率流密度（8.1.10）也就是入射粒子流强度，即（8.1.3）的散射波的几率流密度是（8.1.11）它表示单位内穿过球面上单位时间的粒子数，故单位时间穿过面积的粒子数是因为，比较（8.1.12）与（8.1.3）两式，可知微分截面是（8.1.13）所以知道了，就可以求得。称为散射振幅。的具体形式通过求薛定谔方程（8.1.8）的解并要求在时解具有（8.1.9）的形式而得出。下面几节我们将具体讨论如何求方程（8.1.8）的解。§8.2分波

7、法本节我们介绍在粒子受到中心力场的弹性散射时，从解方程（8.1.8）而求出散射截面的一种方法，后面还将介绍另一种方法，这两种方法各有各的适用范围。在中心力场的情况下，方程（8.1.8）可改写为（8.2.1）取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，这个轴是我们所讨论问题的旋转对称轴，波函数和散射振幅都与角无关。方程（8.2.1）的一般解可写为（8.2.2）现在既与无关，所以，因而（8.2.1）的一般解写为（8.2.3）这个展式中每一项称一个分波，是第个分波，每个分波都是方程（8.2.1）的一个解。通常称的分波分别为分波。径向函数满足方程（8.2.4）令则（8.

8、2.5）由于与角无关，只