生物信息学基础讲座

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1、生物信息学基础讲座第3讲生物信息学与数学微积分calculus函数function一元函数多元函数极限limit上式中的L即为函数f(x)在x0处的极限导数derivative导数的几何意义函数曲线在该点处切线（tangent）的斜率（slope）导数的规则rulesforderivatives加法规则additionrule传递原则chainrule乘法原则multiplicationrule除法原则divisionruleAppliedcalculus变化Change:常导数ordinary、偏导数partial和方向导数directionalderivative

2、s最优化optimization：包括拟合fitting和带约束的优化constrainedoptimization建模modeling函数类型：线性linear、多项式polynomial、指数exponential、三角trigonometric、幂power-law多元函数multi-variablesfunction微分方程differentialequation单位和维度unitsanddimension例子:二元二次多项式微分方程：动态过程建模DifferentialEquation动态模型dynamicmodel描述研究对象特征随时间/空间变化的演变过程

3、分析研究对象特征的变化规律预测研究对象特征的未来状态控制研究对象特征的未来状态微分方程建模方法根据函数及其变化率（导数）的关系建模根据建模目的和问题分析简化假设根据内在规律（模式）或类比法建立微分方程线性代数：矩阵之美LinearAlgebra基本概念集合（set）线性空间（linearspace）线性组合（linearcombination）线性相关（linearindependent）欧式空间（Euclideanspace）正交（perpendicular，orthogonal）向量的加法（addition）其实质是对应元素的加法交换律（communicative

4、law）结合律（associativelaw）分配率（distributivelaw）向量加减的几何学意义（geometricinterpretation）向量乘法（multiplication）的几何意义内积（innerproduct）：也称作点乘（dotproduct），其结果为一标量（scalar），相当于a的范数（L2-norm）与b的范数的乘积乘以两向量的夹角余弦值，表示为或a·b应用：计算物理上的做功。外积（outerproduct）：也称作叉乘（crossproduct），其结果为垂直于向量a与b形成的的平面的向量，其范数为向量a和b范数的乘积

5、乘以夹角的正弦值，表示为a×b应用：物理上的电磁力计算，确定方向采用右手螺旋方法矩阵（matrix）矩阵的秩（rank）：矩阵A的行（或列）极大无关组的个数，表示为rank(A)，rank(A)<=min(m,n)。如果等式成立，则称A是满秩（fullrank）的（行满秩还是列满秩取决于m、n大小）；如果rank(A)=m=n，则称A为n阶非奇异方阵（n-ordernonsingularsquarematrix），此时A可逆（invertible）。方阵的行列式（determinant），表示为det(A)。矩阵非奇异的充要条件是：det(A)<>0矩阵的转置（tra

6、nsposematrix）逆矩阵（inversematrix）对称矩阵（symmetricmatrix）正交矩阵（orthonormalmatrix）正定矩阵（positivedefinitematrix）正半定矩阵（positivesemidefinitematrix）矩阵分解（decomposition/factorization）所谓矩阵分解，是将矩阵分解为经典矩阵（canonicalmatrix）的乘积的办法，目的是为了简化计算。LU分解：将矩阵分解为下三角矩阵（uppertriangularmatrix，L）和上三角矩阵（uppertriangularmat

7、rix，U）的乘积，常用于方程组的求解。通常A为方阵QR分解：将矩阵分解为一个正规正交矩阵（Q）和一个上三角矩阵的积（R）。QR分解常用来求解线性最小二乘问题。矩阵不必为方阵，分解得到Q为m×m方阵，R为n×n方阵Cholesky分解：特征值分解（eigendecomposition）：Schur分解：奇异值分解（singularvaluedecomposition,SVD）：A=USVT，其中U、V为正规正交矩阵，S为对角阵。是最为准确的矩阵分解方法，可用于主成份分析（PCA）和聚类（clustering）最优化：理论与应用Optimization