微积分产生社会背景和数学渊源

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1、1.微积分产生的社会背景和数学渊源微积分诞生在17世纪，主要来自政治，经济和社会发展对数学的巨大推动。16世纪，欧洲出现毛瑟枪和火枪——运动学，动力学等的研究15世纪，商业、航海、天文、测量等日益繁荣——流体力学、天文学、几何光学、天文仪器的发展数学家面临问题：求面积，求体积，求速度，求加速度，求行程等古时中国刘徽、祖冲之的割圆术求和希腊阿基米德等穷竭法求圆面积等，出现了极限和无穷小思想。17世纪初，微积分的铺垫和前期准备工程师S.Stevin(1548-1620)和意大利数学家Valerio(1552-1618)求水闸所受压力●——积分思想的萌芽Kepler第

2、二行星定律中椭圆面积的计算●微分学的起源要比积分学起源晚得多●切线问题与极值问题2．Newton和leibniz的功绩前期工作没有通过无穷小量分析来定义导数和通过分割求和取极限来建立积分的明确概念，更未给出两者之间的联系。17世纪后半叶，Newton和Leibniz独立地发现了高等数学意义上的微积分。IssacNewton(1642-1727)，英国大物理学家和数学家。1642年，伽利略去世，Newton诞生在England的一个农民家庭。1661年Newton入剑桥大学三一学院，拜著名数学家巴罗（Barrow）为师，1669年，巴罗宣布Newton的学识水平已

3、超过自己，推荐27岁的Newton代替自己任“卢卡斯数学教授”。这是历史上有名的巴罗让贤。Newton受巴罗的“巴罗微分三角形”启发发明微积分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。Newton从1665年到1695年，对微积分的创造性成果为：★1665，“正流数术”——微分学；★1666，“反流数术”——积分学；★1666，“流数简论”——标志微积分的诞生；★1669，“分析学”——由此后人称以微积分为主要内容的学科为数学分析★1671，“流数法”★1687，“自然哲学的数学原理”——简称“原理”★1691，“求积术”Newton求导（流数）的大概思想是：增量与之

4、比等于现令增量消失，它们的最终比为求的流数这段话用今天的微积分可改写成：然后令的导数（流数）为Newton的成果受到一片欢呼和歌颂。1727年，Newton因肺炎与痛风去世。他遗留的手稿中，仅数学部分就有5000多页。GottfriedWilhelmLeibniz(1646-1716),德国大数学家、哲学家。生于莱比锡一个书香门第，幼年表现出超常才智。15岁考入莱比锡大学，1667年获法学博士学位，次年任驻法大使，在巴黎生活了4年。20岁发表《论组合的艺术》的数学论文（使其成为“数理逻辑奠基人之一”）。Leibniz很多重大的成就包括微积分都是在巴黎的4年中完成

5、的。他在Paris的主要成果：★1675年给出积分号“”，同年引入微分号“d”★1676年给出公式，★1677年，表述微积分基本定理：★1684，“求极大与极小值和求切线的新方法”★1686，“深奥的几何与不可分量的无限的分析”3．第二次数学危机与微积分的发展和完善N-L的微积分逻辑基础不严密，特别是在无穷小概念上的混乱，引起不少科学家的批评。英国哲学家、牧师G.Berkeley（1685-1753）：《分析学家，或致一位不信神的数学家》矛头直指牛顿的流数法。———Berkeley悖论这就导致了第二次数学危机由于微积分的方法和结论与实际是如此吻合，所以即使基础不

6、牢，人们还是乐意去用它，直到19世纪，才开始真正解决问题。第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地意见的是达朗贝尔（D’Alembert）。但他未提供理论。后经Lagrange，Bolzano（捷克），Cauchy（分析学奠基人），Weirstrass（法）等人的努力，奠定了微积分严格的基础，解决了第2次数学危机。Cauchy的贡献在于将微积分的基础建立在极限基础上，Weirstrass的贡献是建立了分析基础的逻辑顺序：实数系——极限论——微积分。微积分的诞生具有划时代意义，是数学史上的分水岭和转折点，这个伟大发明的产生，使得数学明显地不同于从古希腊继承下来的旧

7、数学，旧数学是关于常量的数学，而新数学是关于变量的数学；旧数学是静态的，新数学是动态的，两者的关系就象解剖学与生理学，前者研究死的躯体，后者研究活的身体，旧数学涉及的只是固定的和有限的，新数学包含了运动、变化和无限。BarrowLeibnizNewtonWeierstrassBolzanoCauchy