概率第一章教材习题解

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1、新疆财经大学数学考研辅导班教学资料概率统计第一章教材习题选解习题1-21．已知，，.求：（1），；（2）；（3）；（4）；（5），.解：（1），；（2）；（3）；（4）；（5），.2．设是两事件，且，.问分别在什么条件下，取得最大值和最小值？最大值和最小值各为多少？解：因为，所以要使最大，只要最小；要使最小，只要最大.而，，则，.于是或.又因为，则不合题意.故，当时，最大；当时，最大，最小.3．已知是二事件，且，，.试求与.解：因为，所以,.4．已知，，，.试求中有一个发生的概率.解：16新疆财经大学数学考研辅导班教学资料因为，而，所以，即

2、.故，.5．书架上有一部五卷册的文集，求各册自左至右或自右至左排成自然顺序的概率.解：设表示“一部五卷册的文集，各册自左至右或自右至左排成自然顺序”，则.6．从一批由件正品、件次品组成的产品中任取件产品，求其中恰有一件次品的概率.解：设表示“任取件产品，求其中恰有一件次品”，则.7．个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中两人一定坐在一起（即座位相邻）的概率.解：首先必须搞清楚，这是一个环状排列问题.这种排列是无首尾之分的，而我们所熟悉的是线状排列问题.环状排列一种，相当于线状排列种.设表示“个朋友随机地围绕圆桌就座，其中甲，乙两人一定坐在一起”，

3、则按线状排列时，首先考虑将甲，乙两人排在一起，有种排法，然后把这两人视为一个元素，再与其它的的元素作全排列，共有种，而对应的环状排列有种，于是.8．某油漆公司发出桶油漆，其中白油漆桶，黑油漆桶，红油漆桶，在搬运过程中所有的标签脱落，交货人随机地将这些油漆发给顾客，问一个订货为桶白油漆，桶黑油漆和桶红油漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：设表示“能按所订颜色如数得到订货”，则.9．设有件产品，其中件次品，今从中任取件，（1）求其中恰有件次品的概率；（2）求其中至少有两件次品的概率.解：（1）设为“从件产品中任取件，其中恰有件次

4、品”，则.（2）设为“从件产品中任取件，其中至少有两件次品”，则考虑逆事件的概率有：16新疆财经大学数学考研辅导班教学资料，其中：表示“从件产品中任取件，其中次品件数不多于两件”.于是，.10．将一枚骰子重复地掷次，试求掷出的最大点数为5的概率.解：设“次投掷中恰有次掷出5点，且其他各次小于5点”，则所求概率为：.点评：本题不管是直接计算还是从对立事件着手都是困难的，但利用减法公式是简洁的.设“最大点数为5”，“最大点数不超过5”，“最大点数不超过4”，则，且，于是.11．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的

5、时间是等可能的，如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率.解：设甲乙两船到达的时刻为，则..显然，.点评：若甲船先到，则乙船必须晚到一小时；若乙船先到，则甲船必须晚两小时到达.12．（91数1-3）随机地向半圆为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，试求原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率.解：点评：此题求面积时可用定积分或二重积分.习题1-31．已知，，，求条件概率.解：因为，所以.16新疆财经大学数学考研辅导班教学资料故，.2．已知，，，求及.解：；.3．某

6、种动物由出生活到20岁的概率为，活到25岁的概率为，这种动物已经活到20岁，再活到25岁的概率是多少？解：设“这种动物由出生活到20岁”，“这种动物由出生活到25岁”，则，故所求概率为：.4．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（分别用条件概率的定义计算和条件概率的含义（即用缩减后的样本空间）计算）.解法（一）：设表示“两颗骰子的点数之和为7”，表示“其中有一颗为1点”，则所求概率为：.解法（二）：考虑缩减后的样本空间（即两颗骰子的点数之和为7）：，，故.点评：缩减后的样本空间只含有6个基本事件，而原样本空间含有

7、36个基本事件.5．某人有一笔资金，他投入基金的概率为，购买股票的概率为，两项同时都投资的概率为，（1）已知他已经投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解：设“投入基金”，“购买股票”，则，，，于是，已知他已经投入基金，再购买股票的概率是：.已知他已购买股票，再投入基金的概率是：.6．袋中有只红球，只白球，每次从袋中任取一只球，观察颜色后放回，并再放入只与取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率（此题为波利亚模型，它是一个包含了许多重要的随机现象

8、的模型，请读者思考一下，什么样的现象可以归结于这一模型）.解：设表示“第次取到红球”，则所求概率为：16新疆财经大学数学考研辅导班教学资料.7．已知10只产品中有2只次品，在其中