高考数学曲线方程讲义

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1、高三第一轮复习数学---曲线方程一、教学目标：了解解析几何的基本思想，了解坐标法研究几何问题的方法；掌握用定义法和直接法求曲线的方程的方法和步骤。二、教学重点：注意动点应满足的某些隐含条件；2、注意方程化简时的等价性，主要是在去分母和两边平方时的变形。3、注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值的讨论。三、教学过程：（一）主要知识：1、曲线方程的意义：正如一个关于的一元二次方程一定表示一条直线，一条直线必定可以用个关于的一元二次方程表示一样，直角坐标系内的曲线可以用一个关于的二元方程来表示，一个关于的二

2、元方程表示着坐标平面内的一条曲线。而函数亦为方程是的特殊形式。2、方程恰为曲线C的方程即曲线C恰为方程的曲线的充要条件为：（1）曲线C上的点的坐标都是方程的解；否则曲线C比比方程所表示的曲线多点（纯粹性）且（2）以方程的解为坐标的点都在曲线C上；否则曲线C比方程所表示的曲线少点（完备性）即曲线C=3、已知曲线求方程：求动点的轨迹方程，　文字语言的几何条件数学符号语言的等式数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程最后除掉多余的点（加上遗漏的点）。4、已知曲线方程求曲线：要做到不多不少刚刚好

3、。5、曲线与曲线的交点坐标为：方程组的解（特别注意大括号的意义为交点坐标）（二）例题分析：（一）曲线方程的意义：例1：（1）如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确，那么以下正确的命题是　　（A）曲线上的点的坐标都满足方程．　　（B）坐标满足方程的点有些在上，有些不在上．　　（C）坐标满足方程的点都不在曲线上．　　（D）一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程．　　分析：举例，若方程为，曲线为第一、三象限角平分线，易知答案为D．（2）求曲线分别关于①直线②③点④直线对称的曲线方程．解：①；②；③；④（二

4、）已知曲线方程求曲线：例2（1）表示什么曲线？（2）方程表示什么曲线？解：（1）原方程等价于：当时为x；当时为；当时为（画图）（2）原方程等价于：或即：或所以表示直线和射线（画图0点评：这多条图形为曲线C；思考：表示什么曲线？（曲线C为圆：和直线在此圆外面部份）（三）已知曲线求方程：求动点的轨迹方程：例3过定点任作互相垂直的两直线与，且与轴交于点M，与轴交于点N，求线段MN的中点P的轨迹方程。解：法一（直译法）由，化简得：法二（代入法）设，，则①因为，所以②由①代入②可得：XXANMO例4（2000年春

5、季高考）已知抛物线O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足，如果于点M，求点M的轨迹方程。解：（参数法）设的方程为，点M的坐标为，则OB的方程为由得由得则所以，，消去参数得轨迹方程为即所求轨迹是以点为圆心，长为半径的圆除去原点。点评：直译法、代入法和参数法是求轨迹方程的三大基本方法。（四）曲线的交点：例5、已知曲线，点，曲线，求的交点个数。解：0个。设点是上的点，则，而若这与矛盾。例6、求过点的直线与曲线有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为，求的取值范围。解：设直线方程为，由方程组消去得，设其

6、两个根为则，得的取值范围是（三）巩固练习：1．和y轴相切并且和曲线x2+y2=4(0≤x≤2)相内切的动圆圆心的轨迹方程为（）。　　A、y2=-4(x-1)(x>0)　　　B、y2=2(x+1)(00，设其半径为r，则由相切条件　　，∴

7、MO

8、=2-

9、x

10、，即，，，又-4(x-1)=y2≥0,　　∴所求方程为y2=-4(x-1)(0

11、的条件是关于M的明显的等量关系，或者可以通过几何知识推出明显的等量关系，求方程可以用直接法（直接到方程化简）。2．已知直角坐标系中，点Q(2,0)，圆C的方程为x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与

12、MQ

13、的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。解：设MN切圆C于N，则

14、MN

15、2=

16、MO

17、2-

18、ON

19、2，　　设点M(x,y)，则，化简，得　　(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0　　1）当λ=1时，方程为，表示一条直线。　　2）当λ≠1时，方程化为表示一个圆

20、。　　小结：本题是典型的直接（列方程化简）法。四、小结：曲线方程的意义；方程恰为曲线C的方程即曲线C恰为方程的曲线的充要条件；已知曲线求方程：求动点的轨迹方程；已知曲线方程求曲线：要做到不多不少刚刚好；曲线与曲线的交点坐标五、作业：