2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷

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1、2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷（2005年5月15日9：00—11：00）一．选择题（本大题满分36分，每小题6分）1．设，求的值为（A）（B）（C）（D）答：【】2．若，则的取值范围是(A)(B)(C)(D)答：【】3．设，，，，上述函数中，周期函数的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4答：【】4．正方体的截平面不可能是(1)钝角三角形(2)直角三角形(3)菱形(4)正五边形(5)正六边形下述选项正确的是：(A)(1)(2)(5)(B)(1)(2)(4)(C)(2)(3)(4)(D)(3

2、)(4)(5)答：【】5．已知，是两个相互垂直的单位向量，而，，。则对于任意实数，的最小值是(A)5(B)7(C)12(D)13答：【】6．设函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x)＋1，则方程f(x)＝x根的个数可能是(A)无穷多(B)没有或者有限个(C)有限个(D)没有或者无穷多答：【】二．填空题（本大题满分54分，每小题6分）7.设，，求=。8.已知数列，满足,且，则=。9.设函数，则f(x)＝。10.设命题P:和命题Q:对任何，有且仅有一个成立，则实数的取值范围是。11.在轴的正方向上，从左向右

3、依次取点列，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是。12.根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北（）方向行走一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为10米/分钟，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是。三.解答题（本大题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.（20分）设双曲线的左、右焦点分别为，，若的顶点P在第一象限的双曲线上

4、移动,求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹。14.（20分）设，定义，1）求的最小值；2）在条件下，求的最小值；3）在条件下，求的最小值，并加以证明。15.（20分）在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷答案一．选择题1．设，

5、求的值为（A）（B）（C）（D）答：【C】【解】：令得；（1）令得；（2）令得；（3）（2）＋（3）得，故，再由（1）得。选【C】2．若，则的取值范围是(A)(B)(C)(D)答：【D】【解】：设，。又由，故。因此有，即由于，所以有，即。选【D】3．设，，，，上述函数中，周期函数的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4答：【B】【解】：是以任何正实数为周期的周期函数；不是周期函数。因为是以为周期的周期函数,是以为周期的周期函数,而与之比不是有理数，故不是周期函数。不是周期函数。因为是以为周期的周期函数,是

6、以为周期的周期函数,而，故是周期函数。不是周期函数。因此共有2个周期函数。选【B】4．正方体的截平面不可能是(1)钝角三角形(2)直角三角形(3)菱形(4)正五边形(5)正六边形下述选项正确的是：(A)(1)(2)(5)(B)(1)(2)(4)(C)(2)(3)(4)(D)(3)(4)(5)答：【B】【解】正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形，直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来

7、讲，可以是任意五边形，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。选【B】5．已知，是两个相互垂直的单位向量，而，，。则对于任意实数，的最小值是(A)5(B)7(C)12(D)13答：【C】【解】：由条件可得当时，。选【C】6．设函数满足，则方程根的个数可能是(A)无穷多(B)没有或者有限个(C)有限个(D)没有或者无穷多答：【D】【解】：显然有解，其中为任意实数。当时，没有解。当时，有无穷多个解。选【D】二．填空题7.设，，求=。【解】：由已知可以解出，。故.8.已知数列，满足,

8、且，则=。【解】：由，推出。因此有.即有。从而可得。9.设函数，则。【解】：令，得。把y改为x得―――――――――（1）―――――――――（2）联合（1）（2）消去，可得。8.设命题P:和命题Q:对任何，有且仅有一个成立，则实数的取值范围是。【解】：命题P成立可得；命题Q成立可得。因此，要使命题P和命题Q有且仅有一个成立，实数c的取值范围是。9.在轴的正方向上，从左向右依次取点列，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，