第 九 章 簡單迴歸分析

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1、簡單迴歸分析1.簡單迴歸分析當討論兩變數的資料時，我們會問兩個問題，第一個問題是這兩個變數間有無關係，如有關係，它的關係有多大(相關係數)。另一個問題是一變數對另一變數有何影響(迴歸分析)。迴歸的目的就是要找出變數間的關係式，即找函數f，使應變數y(DependentVariable，或稱準則變數)與獨立變數x(IndependentVariable或稱預測變數)間有：y=f(x)的關係式，最簡單的函數f是線性函數，即f(x)=我們稱這種線性關係式y=為簡單線性迴歸模式(SimpleLinearRegressio

2、nModel)，其中稱為迴歸係數(RegressionCoefficient，表示直線斜率)，表示截距(Intercept，表示迴歸線與y軸交點的縱座標)。當收集到一組資料後，迴歸第一步驟就是估計，(後面將介紹最小平方法求，的估計)，然後再利用殘差圖評估模式是否合適，如不合適則做修正，直到修正模式評估合適為止，模式修正好後，就能利用建立的迴歸模式做預測、解釋及控制等用途。1.1散佈圖通常迴歸模式是未知的！一般是由已有的資料(x1,y1),…,(xn,yn)之散佈圖得知其輪廓。所謂散佈圖(ScatterDiagra

3、m)通常畫在二度空間上，y軸表示應變數，x軸代表獨立變數，散佈圖是相關與迴歸分析最基本的工具，如果散佈圖上的點愈接近形成一直線，表示這兩個變數的關係愈密切。反之，如果散佈圖呈圓形，表示這兩個變數沒有什麼關係，也就是說獨立變數對應變數沒有什麼影響力，因之預測能力就很差。以下舉幾個例子說明散佈圖的畫法。79例1：某汽車公司想了解廣告費x對銷售費y的影響，收集過去12年的資料如下：表1某汽車公司過去12年新車銷售量與廣告費資料年代T廣告費x(萬元)銷售量y(輛)73510100074550110075600125076

4、58012807770013607875014807986015008093017208110501800821030189083120021008413202200圖1中(700，1360)是77年的資料，由圖上看出這12年的資料隱約的在一直線附近，將這條直線畫出如下圖，這條“最靠近”這些點的直線，就稱為“代表線”或稱“迴歸線”。繪製其散佈圖如下：圖1銷售量對廣告費的散佈圖79圖2銷售量對廣告費的迴歸線1.2簡單線性迴歸分析簡介迴歸分析(RegressionAnalysis)是一種統計分析方法，它利用一組預測變

5、數(或稱獨立變數)的數值，對某一準則變數(或稱應變數)做預測，它也可以做為評估預測變數對準則變數的影響程度。很不幸地，迴歸(Regression)的名字取得不理想，從字面上並不能表現出這種方法的重要性及其應用，取名實際上來自於1885年高登(Galton)所寫的論文“RegressionTowardMediocrityinHeredityStature”。大致來說，其意義為：如果一些未知的獨立變數之影響程度消失，其應變異數應些一迴歸線。迴歸的主要目的是做預測，目標是發展一種能以一個或多個預測變數的數值來做為應變數

6、預測的方法。本單元將探討“簡單”線性迴歸模式，也就是只用一個獨立變數x去預測應變數y的模式。我們常問像下面的兩個問題：能不能由學生的IQ成績預測其大學聯考成績？是否能由大學聯考成績預測大一微積分成績？79統計學主要應用之一是做預測，一般預測需要先收集資料，然後建立模式，再由給定的預測變數值，求出對應的準則變數值是多少？迴歸分析就是找出變數間的關係式。我們將變數分成兩類，一類變數是做為預測提供者，稱為獨立變數(IndependentVariable)或稱為預測變數(PredictorVariable)，以x表示，另

7、一類是我們真是關心的被想預測者，稱為應變數(DependentVariable)或準則變數(ResponseVariable)，以y很示。所謂建立模式，就是找出y與x的函數關係式，即找函數f滿足y=f(x)最常用的函數f是線性函數，即f(x)=而y=稱為簡單線性迴歸(SimpleLinearRegression)模式例如森林農場關心明年的木材總收成是多少？當然等到砍伐就能算出收成的總體積，但如能在未砍伐前能做預測，則有很多行銷方面的好處，如何做收成的預估，方法當然有很多種，例如：(1)可根據過去幾年收成資料做下年

8、度的預測(時間數列)。(2)可根據過去幾年砍伐面積與收成的木材體積做下一年的預測(簡單線性迴歸)。(3)可根據樹木的棵數，及每棵樹的高度及樹幹的直徑等做預測(複迴歸)。以上幾種方法都是可行的，至於那一種方法做預測較好有待評估，不過，不論用何種方法，首先必須收集資料，然後設定模式，才能做預測。以第二種方法為例，假設收集過去10年砍伐面積與收成木材體積資料如下：表2森林農場十