十一、簡單相關與簡單直線回歸分析 (Simple Linear

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1、十一、簡單相關與簡單直線回歸分析(SimpleCorrelationsandSimpleLinearRegression)劉仁沛教授國立台灣大學農藝學研究所生物統計組國家衛生研究院生物統計與生物資訊組jpliu@ntu.edu.tw例1：氮肥用量與水稻穀收量表(公斤)氮肥用量x00.51.01.52.02.5稻穀收量y101832485562例2：成人年齡與血液中膽固醇的量年齡x343944464851膽固醇y(mg/ml)141.4180.5178.4212.0203.2224.1年齡x53661656667膽固醇y(mg/ml)186.0350.0286.3287.6330.3371.3

2、例3：年雨量與小麥產量年雨量(公厘/20)23.520.422.825.928.927.126.825.2產量(公斤/100)20.423.033.535.844.641.245.439.0氮肥用量與稻穀收量的ScatterPlot年齡與膽固醇量的ScatterPlot(mg/ml)年雨量與小麥產量的ScatterPlot(公斤/100)探討兩個變數之間的關係問題：兩個變數間是否存在直線關係？將直線關係以方程式表示資料型態(xi,yi)假定(Assumption)每對資料均為獨立常態相同變方X與Y的關係為直線簡單關係數(Simplecorrelationcoefficient)簡單直線回歸

3、(SimpleLinearRegression)模式建立之推論(ModelsandInference)回歸模式直線性檢定(EvaluationofLinearity)假定之確認(CheckingtheModelAssumptions)ⅡⅠⅢⅣⅡⅠⅢⅣⅡⅠⅢⅣμχμχμχμyμyμyy(a)ρ>0正相關(b)ρ<0負相關(c)ρ=0無相關圖11.8b三種不同族群相關散播圖象限(χ-μχ)(y-μy)(χ-μχ)(y-μy)Ⅰ+++Ⅱ-+-Ⅲ--+Ⅳ+--正相關：落在第Ⅰ及Ⅲ象限的點數>落在第Ⅱ及Ⅳ象限的點數負相關：落在第Ⅰ及Ⅲ象限的點數<落在第Ⅱ及Ⅳ象限的點數無相關：落在第Ⅰ及Ⅲ象限的點數=落

4、在第Ⅱ及Ⅳ象限的點數族群簡單相關係數：(x1,y1)…(xN,yN)，-1<ρ<1樣品簡單相關係數樣品資料：(x1,y1),…,(xn,yn)乘積和：X平方和：Y平方和：，r之範圍：1≦r≦-1xyr=1xyr=-1(a)完全正相關(b)完全負相關(a)不完全正相關(b)不完全負相關xy0tα/2,n-2拒絕H0例：雨量與小麥產量n=8,Σxi=200.5,Σyi=296.5簡單直線回歸(SimpleLinearRegress

5、ion)水稻穀產量(y)與氮肥用量(x)可以用直線關係描述yi=β0+βxi，i=1,…,6(=n)yi：依變數(Dependentvariable)xi：獨立(自)變數(Independentvariable)β0：截距(Intercept)x=0時y的值β：斜率(Slope)x變動一個單位y變動的量但實際觀測值與直線y=β+βx有差距原因：環境、實驗誤差、量測誤差及其他原因yi=β0+βxi+εi，i=1,…,6(=n)εi：誤差(Error)或殘差(Residual)TheSimpleLinearRegressionModel(Hereβ1>0)xy-interceptOne-unit

6、changeinxSlope=β1Meanvalueofywhenxequalsx0Anobservedvalueofywhenxequalsx0yβ00ErrortermStraightlinedefinedbytheequationμy∣x=β0+β1xx0=Aspecificvalueoftheindependentvariablex假定(Assumptions)：獨立性(Independent)常態性(Normality)直線關係(Linearity)相同變方(homogeneityofVariance)無數條直線可描述X與Y的關係選擇直線的方法：最小平方法(LeastSquares

7、Method)德國大數學家Gauss發明yixie1e2e3e4e6e5圖11.4回歸直線與殘差圖最小平方法正常方程式(NormalEquations)斜率估算值截距估算值推測直線回歸方程式(PredictedLinearRegressionEquations)殘差估算值為當獨立之變數為xi時依變數之最小平方推測平均值計算推測直線回歸方程式所需統計值例：成人年齡與血液膽固醇含量假定獨立性常態性直線關係相關變方