考研数二真题及解析(5)

《考研数二真题及解析(5)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设,则＿＿＿＿＿＿.(2)曲线的上凸区间是＿＿＿＿＿＿.(3)＿＿＿＿＿＿.(4)质点以速度米每秒作直线运动,则从时刻秒到秒内质点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.(5)＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)若曲线和在点处相切,其中是常数,则()(A)(B)(C)(D)(2)设函数记,则()(A)(B

2、)(C)(D)(3)设函数在内有定义,是函数的极大点,则()(A)必是的驻点(B)必是的极小点(C)必是的极小点(D)对一切都有(4)曲线()(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(5)如图,轴上有一线密度为常数,长度为的细杆,有一质量为的质点到杆右端的距离为,已知引力系数为,则质点和细杆之间引力的大小为()(A)(B)(C)(D)三、(每小题5分,满分25分.)(1)设,求.(2)计算.(3)求.(4)求.(5)求微分方程满足的特解.四、(本题满分9分)

3、利用导数证明：当时,有不等式成立.五、(本题满分9分)求微分方程的通解.六、(本题满分9分)曲线和轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)如图,和分别是曲线和上的点,和均垂直轴,且,,求点和的横坐标,使梯形的面积最大.八、(本题满分9分)设函数在内满足,且,计算.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】【解析】由复合函数求导法则,即的微分为,有.(2)【答案】【解析】求函数的凹凸区间

4、,只需求出,若,则函数图形为上凹,若,则函数图形为上凸,由题可知.因为,所以当时,函数图像上凸,即时,函数图像上凸.故曲线上凸区间为.(3)【答案】【解析】用极限法求广义积分..(4)【答案】【解析】这是定积分的应用.设在时刻的速度为,则在时间内的路程为,所以从时刻秒到秒内质点所经过的路程为.(5)【答案】【解析】这是一个型未定式,分子分母同乘以,得.为简化计算,令,则,原式可化为.二、选择题(每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的

5、导数相等,对两函数分别对求导,得,则该曲线在点处的导数为,,即,则曲线在点处的导数为,两导数相等,有,即.又因为曲线过点,所以有.所以选项(D)正确.(2)【答案】(B)【解析】这是分段函数求定积分.当时,,所以.当时,,所以.所以,应选(B).(3)【答案】(B)【解析】方法一：用排除法.由于不可导点也可取极值,如,在处取极大值,但是不是的驻点,所以(A)不正确；注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于,在处取极大值,但并非是的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B

6、)是正确的,因为,不妨设,则为极大值,则在的某个领域内有；函数与函数关于原点对称,所以必有,即在的某个领域内为极小值,故(B)是正确的.(4)【答案】(D)【解析】函数的定义域为,所以函数的间断点为,,所以为铅直渐近线,,所以为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有,则是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当,则为函数的水平渐近线.(5)【答案】(A)【解析】如图建立坐标系,则中,长度的细杆的质量为,与质点的距离为,故两点间的引力为,积分得,故选(A).同理应用微元法可知,若

7、以的中点为原点,则质点的坐标为,故；若以的左端点为原点,则质点的坐标为,故.故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程,,.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果,则.(2)【解析】用换元法求定积分.令,则,则.(3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则.当时,有,所以.(4)【解析】用分部积分法求不定积分..(5)【解析】所给方程是一阶线性方程,其标准形式为.通解为.代入初始条件得,所以特解为.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程

8、的通解为,其中为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式,从中发现规律.当时,原不等式即,即.证法一：令,则只需证明在时即可,可利用函数的单调性证明,对于有.因,故,即,所以在上是严格递增函数,所以,故,所以当时,有不等式成立.证法二：当时,原不等式即,不等式左右两端形式一致,故令,则,所以在时严格单调递增,故，即.所以当时,有不等式成立.五、(本题满分9分)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为,