非线性控制系统分析

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1、第七章非线性控制系统分析习题与解答7-1设一阶非线性系统的微分方程为试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。解令得系统平衡状态其中：：稳定的平衡状态；：不稳定平衡状态。计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。-2-1012-600.3850-0.38506112010211图解7-1系统相轨迹可见：当时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当时，系统发散；时，;时，。注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个平面上任意分布。7-2试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。(1)(2)解（1）系统方程为20令，得平衡点：。系统特

2、征方程及特征根：计算列表-∞-3-1-1/301/313∞-1-2/302-∞-4-2-4/3-1-1-4/3-2-4∞20-2/3-1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（）所示。20图解7-2（）系统相平面图（2）①②由式①：③式③代入②：即④令得平衡点：由式④得特征方程及特征根为（鞍点）画相轨迹，由④式计算列表2022.53∞11.52=1/(-2)∞210-1-2∞用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（）所示。7-3已知系统运动方程为，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。解求平衡点，令得平衡点)。将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项

3、。设特征方程及特征根：k为偶数时（中心点）k为奇数时（鞍点）用等倾斜线法作相平面-2-1-1/2-1/401/41/212-1/1/2124∞-4-2-1-1/2作出系统相平面图如图解7-3所示。207-4若非线性系统的微分方程为(1)(2)试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。解（1）由原方程得令得解出奇点在奇点处线性化处理。在处：即特征方程及特征根（不稳定的焦点）在处20即特征根（鞍点）概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4（1）所示：（2）由原方程令得奇点,在奇点处线性化得即特征根。奇点（中心点）处的相轨迹如图解7-4(2)所示。7-5非线性系统的结构图如

4、图7-36所示。系统开始是静止的，输入信号，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。解由结构图，线性部分传递函数为得①20由非线性环节有②由综合点得③将③、②代入①得开关线方程为令得奇点特征方程及特征根（中心点）III：令得奇点特征方程及特征根（中心点）绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。7-6图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。20解由系统结构图有①因为②②代入①式有特征方程与特征根依题意可得以为起点概略作出系统相轨迹。可见系统阶跃响应过程

5、是振荡收敛的。7-7已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38所示。图7-38具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析：20（1）时系统的运动；（2）时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用；（3）时系统的运动特点。解依结构图，线性部分微分方程为①非线性部分方程为②开关线方程：由综合口：③③、②代入①并整理得在I区：解出：（抛物线）同理在II区可得：（抛物线）开关线方程分别为时，;时，;时，.概略作出相平面图如图解7-7所示。图习题集P178T8-1020由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。7

6、-8具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响应。解非线性特性的数学表达式为图7-39非线性系统结构图线性部分的微分方程式为考虑到，上式又可以写成输入信号为阶跃函数，在时有，，因此有根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。Ⅰ区：系统的微分方程为按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点（0，0），奇点的类型为稳定焦点。图解7-8（）为Ⅰ区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。Ⅱ区：系统的微分方程为设一般情况下，初始条件为。则上式的解为对上式求一次导数，得故当初始条件时，相轨迹方程为。当时，相轨迹方程为20由此可作出该区的相轨

7、迹，如图解7-8()所示，相轨迹渐进于直线。Ⅲ区：此时系统的微分方程为将Ⅱ区相轨迹方程中的改变符号，即得Ⅲ区的相轨迹方程该区的相轨迹如图解7-8（）所示。将以上各区的相轨迹连接起来，便是系统的整个相平面图，如图解7-8（）所示。假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，相轨迹的起始点应为。此时的系统的相平面图如图解7-8（）所示。由图可知，系统在阶跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。动态过程具有衰减振荡性质，最大超调量可从图中量得。图解7-8非线性系统的相平面图207-9试推导非线性特性的描述函数。解7-10三个非线性系统的非线性环节一样