《数列高考题》word版

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1、2008.19．（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当时，求的数值；（ii）求的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．解：（1）①当n=4时,中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或。②当n=5时,中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去

2、；当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得（*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。于是，对于任意的正整数，只要为无理

3、数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如n项数列1，，，……，满足要求。2009.17．（本小题满分14分）学科网设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。学（1）求数列的通项公式及前项和；学科网（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。[解析]本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。（1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，,(2)（方法一）=,设，则=,所以为8的约数（方法二）因为为数列中的项，故为整数，又由（1）知：为奇数，所以经检验，符合题意的正整数只有。201

4、0.19．（16分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{}是公差为d的等差数列.⑴求数列的通项公式（用表示）⑵设c为实数，对满足m+n=3k且m¹n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立。求证：c的最大值为2011.20、（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立。（1）设M=｛1｝，，求的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式。解析：（1）即：所以，n>1时，成等差，而，（2）由题意：，当时，由（

5、1）（2）得：由（3）（4）得：由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：由（5）（6）得：由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：2012.20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，（1）设，，求证：数列是等差数列；（2）设，，且是等比数列，求和的值．【答案】解：（1）∵，∴。∴。∴。∴数列是以1为公差的等差数列。（2）∵，∴。∴。（﹡）设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。若则，∴当时

6、，，与（﹡）矛盾。∴综上所述，。∴，∴。又∵，∴是公比是的等比数列。若，则，于是。又由即，得。∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。∴。∴。【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。2013.19．（本小题满分16分）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，，其中为实数．（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：．证：（1）若，则，，．

7、当成等比数列，，即：，得：，又，故．由此：，，．故：（）．（2），．(※)若是等差数列，则型．观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而≠0，故．经检验，当时是等差数列．2014.20．(本小题满分16分)设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．【答案】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理

8、论证能力,满分16分.（1）当时，当时，∴时，，当时，∴是“H数列”（2）对，使，即取得，∵，∴，又，∴，∴（3）设的公差为d令，对，，对，则，且为等差数列的前n项和，令，则当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，因此对，都可找到，使成立