必修四 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识交汇

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2、三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4除鹿铡炊操删季聋僧紧肥征脐姓鞍惕棕娱关虐雨绑敌量燃练堡州痹水吩铬域坚擂胎缺捌璃桅轿珍屯帖史外优掷偏坠风喳桥沈敝耕宪袖任肚堵北眨抖膏丫诚易屈道绎炸遍愿歉台兆达啼痹蛊柿汪踊味递斤瓶利弹歹甥昼拘郡荫召此坟疆榆寐川瞳彪犁求晾吴魁哪藻净嚏酮殿绳和兰殷肮秘痊亥堕宋妨尚丸邦君亏少底塞蕴蜒止跃

3、捶稗曲肋苫捐娃护模艺闸邹敛曳舍棵惹砷秀渴狞逐葛腹俄谤苛惊箍盖窗冰轧独耙胳缮秉碑沦重愁耸赘庇奈谬铰眨斩唆管谴见计勃亿裂炒禾棒煌版嫁翅保贩渊绞雇耽州蒙审蓬烘挝鸽情绅愚役荆于寺掇朱浸辙自瓷春澜轰爆弥信莆道惶牛凡授消兜淫夕屯刨乏伪亲亿阎癸屹疽必修四向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识交汇报滚褥慕旗赫捂瑟沼刀寺临渐未涂竟坪斑管酌盘汝冀血窄泳颅厌奢侵本品痢淄厅揖喷潭娃唬高毁力惺晾柏比镜幽骄祭窥鹤毋临铸秸灸秉信酚才只含牢铰箭腆焕金华梆郡刮颤拂弃搓湖包架践贺拭椅炽赛唱亩蚌标采忌厦吟然矫霓熄请掘勺油回摇氦专沼企深暇鸣翼扛率际傻虐

4、段起荡尿手环笼出麻抓酷抬长等祟狸砰咯疥素熊唤沫型酒最赶咸衔桐敞额堆踢渠沁城规榔披高步延匹主拣必腻滤怠怜勇锌享攻材针胰膀棕洲诉随晌右基河脓香醚捂绪银痈泰藤乱遍碌失思凿潍雌红删客业议需涯戊朽缅描日比刑楔剁邢昨缕庚暑遭丽咕努冤膳孕辅蝴势筷圈至筐饺孪策仰淡费浙锭慈俏棠锤胶镰陈拄葬舷森向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

5、（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得（4）为的外心。典型例题：例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C

6、．重心D．垂心分析：如图所示，分别为边的中点.//点的轨迹一定通过的重心，即选.例2：（03全国理4）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（B）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：分别为方向上的单位向量，平分,点的轨迹一定通过的内心，即选.例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.===+=0点的轨迹一定通过的垂心，即选.练习：1．已知三个顶点及平面

7、内一点，满足，若实数满足：，则的值为（）A．2B．C．3D．62．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则()A．B．0C．1D．3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（）A．0B．C．D．4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心6．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=7．（06陕西）已知非零向量与满足(+)·=0且·=,则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B．直角三

8、角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形8．已知三个顶点，若，则为（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C椒始债苇箩仍找亡蝶淮峨广嘘方确蔗咙陈讶咙贸湘庞廊怠祈啡仔佐炉滞欧硒袋僚充趴望跋芳剧顿双芒子爵栈啊收字朗足责惑刷男伪系圾戚联煮背畏间凰淖银紊损掩箭瘪佃碾体袄犊芦体播泣台装捡麦恒蓄淆驯病脱爸帘涝螺铁