宝典向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

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1、向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质。在高考

2、中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：①设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;②设，则向量必平分∠BAC的邻补角③设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心④△ABC中一定过的中点，通过△ABC的重心⑤点是△ABC的外心⑥点是△ABC的重心⑦点是△ABC的垂心⑧点是△ABC的内心(其中a、b、c为△ABC三边)⑨△ABC的外心、重心、垂心共线，即∥⑩设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，，I为△ABC的内心，则有并

3、且重心G（，）内心I（，）（1）是的重心.证法1：设是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令（)化简得（4）为的外心。典型例题：AFECTB例1：（2003年全国高考题）是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上如图设都是单位向量易知四边形AETF是菱形故选答案B

4、例2：（2005年北京市东城区高三模拟题）为△ABC所在平面内一点，如果，则O必为△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上OB⊥CA故选答案D例3：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足，则点O是三角形ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上由条件可推出故选答案D例4：设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上故选答案D例5、已知向量满足条件，，求证：是正三角形．分析　对于本题中的条件，容易想到，点是的外心，而另一个条件表明，点是的重心．

5、故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一定是正三角形．在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的．显然，本题中的条件可改为．高考原题例6、O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的（）．A．外心B．内心C．重心D．垂心分析　已知等式即，设，显然都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故为的平分线，选．例7、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=　．分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则

6、比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有，将已知代入，有，即，由是外心，得，由于是任意三角形，则不恒为０，故只有恒成立．或者，过点作与，则是的中点，有；是垂心，则，故与共线，设，则，又，故可得，有，得．根据已知式子中的部分，很容易想到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为，是平面内任一点，均有，由题意，题目显然叙述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图１，由图上观察，很容易猜想到，至少有两个产生猜想的诱因，其一是，均与三角形的边垂直，则；其二，点是三角形的中线的三等分点．此时，会先猜想，但现在缺少一个关键的

7、条件，即，这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似．当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明．本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设O、G、H分别是△ABC的外心、重心和垂心，则O、G、H三点共线，且OG∶GH＝1∶2，利用向量表示就是．例8、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（　）．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点分析　移项后不难得出，，点O是的垂心，选