信息论与编码陈运主编答案完整版

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1、信息论与编码课后习题答案详解2.1试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍?解:四进制脉冲可以表示4个不同的消息,例如:{0,1,2,3}八进制脉冲可以表示8个不同的消息,例如:{0,1,2,3,4,5,6,7}二进制脉冲可以表示2个不同的消息,例如:{0,1}假设每个消息的发出都是等概率的,则:四进制脉冲的平均信息量HX(1)=logn=log4=2bitsymbol/八进制脉冲的平均信息量HX(2)=logn=log8=3bitsymbol/二进制脉冲的平均信息量HX(0)=logn=log2=1bitsymbol/所以:四进制、八进制脉

2、冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。2.2居住某地区的女孩子有25%是大学生,在女大学生中有75%是身高160厘米以上的,而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息,问获得多少信息量?解:设随机变量X代表女孩子学历Xx1(是大学生)x2(不是大学生)P(X)0.250.75设随机变量Y代表女孩子身高Yy1(身高>160cm)y2(身高<160cm)P(Y)0.50.5已知:在女大学生中有75%是身高160厘米以上的即:py(1/x1)=0.75bit求:身高160厘米以上的某女孩是大学

3、生的信息量×0.75pxpy(1)(1/x1)log0.25=1.415bit即:Ix(1/y1)=−logpx(1/y1)=−log=−py(1)0.52.3一副充分洗乱了的牌(含52张牌),试问(1)任一特定排列所给出的信息量是多少?·1·(2)若从中抽取13张牌,所给出的点数都不相同能得到多少信息量?解:(1)52张牌共有52!种排列方式,假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是:px(i)=Ix(i)=−logpx(i)=log52!=225.581bit(2)52张牌共有4种花色、13种点数,抽取13张点数不同的牌的概率如下:413px

4、(i)=C5213413Ix(i)=−logpx(i)=−logC5213=13.208bit=02.4设离散无记忆信源⎢⎡⎣PX(X)⎥⎦⎤=⎨⎩⎧x31/8⎬x2=1x3=2x4=3⎫,其发出的信息为1/41/41/8⎭(202120130213001203210110321010021032011223210),求(1)此消息的自信息量是多少?(2)此消息中平均每符号携带的信息量是多少?解:(1)此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3,因此此消息发出的概率是:p=⎛⎜3⎞⎟14×⎛⎜1⎞⎟25×⎛⎜1⎞⎟6⎝8⎠⎝4⎠⎝8⎠此消息的信息量

5、是:I=−logp=87.811bit(2)此消息中平均每符号携带的信息量是:In/=87.811/45=1.951bit2.5从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%,如果你问一位男士:“你是否是色盲?”他的回答可能是“是”,可能是“否”,问这两个回答中各含多少信息量,平均每个回答中含有多少信息量?如果问一位女士,则答案中含有的平均自信息量是多少?解:男士:px(Y)=7%Ix(Y)=−logpx(Y)=−log0.07=3.837bit·2·px(N)=93%Ix(N)=−logpx(N)=−log0.93=0.105b

6、itHX()px()logpx()(0.07log0.070.93log0.93)0.366bitsymbol/i女士:HX()px()logpx()i⎡X⎤⎧x2.6设x2x3信源=1x4x5x6⎫,求这个信源的熵,并解释为什么(0.005log0.0050.995log0.995)0.045bitsymbol/⎢PX()⎥⎦⎨⎩0.20.190.180.170.160.17⎬⎭⎣H(X)>log6不满足信源熵的极值性。解:HXpxpxi=−(0.2log0.2+0.19log0.19+0.18log0.18+0.17log0.17+0.16log0.

7、16+0.17log0.17)=2.657bitsymbol/HX()>log62=2.585不满足极值性的原因是。i2.7证明:H(X3/X1X2)≤H(X3/X1),并说明当X1,X2,X3是马氏链时等式成立。证明:HX(3/XX12)−HX(3/X1)=−∑∑∑pxxx(i1i2i3)logpx(i3/xxi1i2)+∑∑pxx(i1i3)logpx(i3/xi1)i1i2i3i1i3=−∑∑∑pxxx(i1i2i3)logpx(i3/xxi1i2)+∑∑∑pxxx(i1i2i3)logpx(i3/xi1)i1i2i3i1i2i3px(i3/xi1

8、)=∑∑∑i1i2i3pxxx(i1i2i3)logpx(i3/xxi1i2)⎛

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