连续性方程和柏努利方程的推导

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1、第15卷第4期宁夏大学学报（自然科学版）1994年12月连续性方程和柏努利方程的推导———反证法的应用王福良(宁夏大学化学系，750021宁夏银川)摘要该文依据质量守恒，能量守恒，用反证法推导出流体输送中二个最重要的方程——连续性方程，柏努利方程。关键词反证法，连续性方程，柏努利方程中图分类号TQoI连续方程柏努利方程是“流体输送”一章中二个最重要的方程。高师和大专的化工教材，对这二个方程只是按一般的物料衡算能量衡算法进行推导，使人印象不深，记忆不牢，多年的教学实践证明：采用“反证法”结合二个衡算进行推导，即忠于原教

2、材，不给学生增加负担，又加强了对已学过的某些基本概念的运用，收效较好，现分述如下。1流体稳态流动时的物料衡算——连续性方程当流体充满导管作稳态流动时，在不同的管径（d1,d2）的1—1，2—2，二个截面上，其对应的流速分别为w1和w2（见图1），在管路系统流体没有增加和泄漏的情况下，我们要弄清单位时间通过1-1，2—2两截面的流体质量究竟存在什么关系，须作以下推导：推导的依据：质量守恒。推导的条件：连续稳定（态），流体无吸入或泄失。6收稿日期：1993—03—27作者简介：男，1946年生，副教授，研究化工“三废”的

3、综合利用。第15卷第4期宁夏大学学报（自然科学版）1994年12月在由1—1，2―2两截面和两截面之间的管路组成的体系中，任选一截面3—3，观察3—3处密度和压强p的变化。假定1qm1qm2，即输入质量流量大于输出的质量流量，那么流体质量m就会在体系内积累，而体系的体积V是确定的，所以3—3截面处流体的密度就会随时间的增长而增长，而压强p=gh也会因密度的增长而增长。流体在无吸入的情况下，质量增加，即违反了推导的依据质量守恒，又违反了推导条件连续稳定，所以假定不成立。假定，即输入的质量流量小于输出的质量流量，那么流体

4、质量m就会在体系内逐渐减少，而体系的体积V是确定的，所以3—3截面上流体的密度就会隋时间的增长而减小。流体在无泄失的情况下，质量减小，即违反了推导的依据质量守恒定律，又违反了推导的前提连续稳定的条件，所以假定不能成立。外界输入到体系的质量流量和由体系输出到外界的质量流量，总共有三种可能性。已有二种被否定，只剩下一种，即输入的质量流量等于输出的质量流量，qm1=qm2=qm=恒量。用文字表达如下：在连续稳定的流体系统中，流体流经管道任一截面的质量流量为一恒量。因qm=Aw,所以上式又可以写为：A1w1=A2w2=Aw=

5、恒量，该式称为流体连续性方程。对于理想流体或不可压缩流体，上式又可以写为A1w1=A2w2，对于园管而言，又可筒化为,=2流体稳态流动时的能量衡算———柏努利方程从物理学得知：物质具有的能量是多样的，如机械能、内能、电磁场能、原子核能…但在流体流动的系统中，主要考虑机械能与内能。内能与温度有关，不可压缩流体，受热不膨胀，其内能不能转化为机械能，对流体输送不起作用，故内能一项也不必列入。所以对流体输送而言，能量衡算实际上是机械能衡算。6收稿日期：1993—03—27作者简介：男，1946年生，副教授，研究化工“三废”的

6、综合利用。第15卷第4期宁夏大学学报（自然科学版）1994年12月图2是一个由1—1截面与2—2截面及钢管内壁组成一个体系。质量为m的理想流体（如水），单位时间内连续稳定地从外界进入1—1截面，与此同时又从体系经2—2截面流出到外界。随着流体的输入与输出，它本身所带的机械能也同时从外界输入到体系，又从体系输出到外界。那么，输入的机械能与输出的机械能究竟有什么关系呢？推导的依据：能量守恒推导的条件：连续稳定{态}，理想流体（）体系中的能量没有补充或泄漏。外界输入到体系中的能量图2体系输出到外界的能量1，位能2，动能在静

7、止液体中有静压强，那么在流动的液体中，静压强还存在吗？若用胶皮管向花园里浇水，如果在皮管上扎个小洞，水就会象喷泉一样喷射来。这种能量被称为静压能，它的大小用做的功来表示。设1-1截面的压强为p1[pa],截面积为A1[m2],则其压力为p1A1[N.].当质量为m[kg]的流体从外界输入到体系中时，必然会受到1—1截面处压力的阻碍，为了克服它，流体必须由外界向体系做功，于是随着流体的输入，这部分功也随之而被输入到体系中来。又因为流体在管路中连续稳定地流动，即流体通过某一段管路的流动是匀速运动，流体所受到的合力为零。即

8、外界反抗1—6收稿日期：1993—03—27作者简介：男，1946年生，副教授，研究化工“三废”的综合利用。第15卷第4期宁夏大学学报（自然科学版）1994年12月1截面处的力也为p1A1。当密度为体积为V,质量为m的流体流经1—1的截面A1时外界对体系所做的功为:功=力×距离=p1A1×=p1V=p12—2截面上的压强为p2,截面积为A2。在