神奇的旋转几何题

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1、例1．有公共顶点C的△ABC和△CDE都是等边三角形.（1）求证：AD=BE；（2）如果将△CDE绕点C沿顺时针方向旋转一个任意角，AD=BE还成立吗？推广：四边形ABDE和ACFG都是正方形，连结EC,BG，如果将ABDE绕点A旋转一个任意角，问EC与BG有何关系.例2.课本例题推广：（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD=∠BCD=90°，且四边形ABCD的面积36，求线段BC与CD的和.（2）已知：在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＋DE＝CD，∠ABC＋∠AED＝180°．求证：AD是∠CDE的平分线．（3）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC＞AD

2、；∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°．若AE＝10，求CE的长．ADBFCEM例3．已知E、F分别在正方形ABCD边AB和BC上，AB=1，∠EDF=45°.求△BEF的周长.例4.已知：在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D、E在AB边上，且使得∠DCE＝45°．求证：AD、DE、EB三条线段确定的数量关系练习：1．在△ABC中，AB=AC，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3.求DE的长.拓展：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，（1）P是三角形内的一点，且∠APB=∠APC．求证：PB=PC．（2）D是三角形内一点，若∠ADB

3、＞∠ADC．求证∠DBC＞∠DCB．（3）若P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°　　2．（正方形中的三角形旋转）已知：如图，E是正方形ABCD边BC上任意一点，AF平分∠EAD交CD于F，试说明BE+DF=AE.拓展：已知：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，（1）如图（1），若有BE+DF=EF，求：∠EAF的度数.（2）如图（2），若有∠EAF=45º.求证：BE+DF=EF.（3）如图（3），若∠EAF=45º，AH⊥EF．求证：AH=AB．（4）如图（4），若正方形ABCD边长为1，△CEF的周长为2．求∠EAF的大小

4、．（5）如图（5），若AB=，且∠BAE=30º，∠DAF=15º，求△AEF的面积．（6）如图（6），正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PFCH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍．试确定∠HAF的大小，写出推导的过程．（1）（2）（3）（4）（5）练习：（答案）1．在△ABC中，AB=AC，如图，∠BAC=90°，∠DAE=45°，BD=2，CE=3.求DE的长.拓展：如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，（1）P是三角形内的一点，且∠APB=∠APC．求证：PB=PC．（2）D是三角形内一点，若∠ADB＞∠ADC．求证∠D

5、BC＞∠DCB．　　分析:将△ABC以A为中心逆时针旋转一角度∠BAC，到△ACE的位置．连DE，由∠ADB＞∠ADC，得∠AEC＞∠ADC．又∠ADE=∠AED，相减，得∠DEC＞∠EDC．　　∴CD＞CE．即CD＞BD，从而∠DBC＞∠DCB．拓展（3）若P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3．试证∠APB=135°．　　分析:利用正方形的特点设法经过旋转使AP、PB、PC相对集中，为简单起见不妨设PA=1，PB=2，PC=3．绕B点顺时针旋转90º，使△CBP到△ABE的位置，这时BE=2，AE=3，∠PBE=90º→PE=，∠BPE=45º.又　　∴∠APE

6、=90°．于是∠APB=135°．拓展（4）在等边三角形内有一点P．连接P与各顶点的三条线段的长为3、4、5.求正三角形的边长.（答案：）分析:将△CPB旋转到△AP′B，连接PP′，延长BP，过A作AD⊥BD.易知△APP′是直角三角形，因为∠BPP′=60º，所以∠APD=30º，则AD=2，DP=.旋转讲解2例1：（05大连）如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．（1）探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证

7、明．①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；③在②的条件下，且CE=2AD．（3）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．图２ABCDFMGEABCDFMGEABCFMGE图1图３Ｄ图1练：1.（08北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC.若∠ABC