北大附中高考数学专题复习导数与微分知识拓展(二)

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1、学科：数学教学内容：导数与微分知识拓展（二）5．什么是泰勒公式？怎样求函数的泰勒公式？对于一些较复杂的函数，为了便于研究函数的性态和函数值的近似计算，我们往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算，便能求出它们的函数值，因此我们经常用多项式近似代替一般函数，那一个函数具有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？如果一个函数能用多项式近似代替，这个多项式的系数与这个函数有什么样的关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎样呢？首先讨论若p（x）是一个n次多项式……由此可知，将n次多项式函数p（

2、x）按着的幂展开，它的多项式的系数由多项式p（x）所确定，即对于任意的函数（不必是多项式函数），只要函数f（x）在点存在直到n阶导数，总能写出一个相应的n次多项式多项式称为f（x）在的n次泰勒多项式．若用n次泰勒多项式近似代替f（x），所产生的误差怎样表示呢？一般地，我们有：若函数f（x）在含有点的某开区间（a，b）内有直到n＋1阶导数，则对任意的点x∈（a，b），有其中称为拉格朗日余项，记作，即上面的公式称为泰勒（Taglor）公式，也称为具有高阶导数的中值定理，在这里令n＝1，即是拉格朗日中值定理．在上式中，若用泰勒多项式近似代替f（x）

3、，所产生的误差是特别地，若在（a，b）上有界，设M>0,对，有则误差可表示：从上面可以求出，要求f（x）的泰勒公式，只要求出泰勒多项式的系数，而因此只须求f（x）在的直到n阶的导数即可．思路启迪x＋1可以写成x－（－1），故只需求出f（x）有－1点的各级导数即可．这个公式称为马克劳林（Maclaurin）公式．例2将f（x）＝ln（1＋x）展开为x的幂式（即马克劳林公式）．思路启迪首先求出f（x）在0点的各阶导数，然后代入公式即可．规范解法当x>－1时，f（x）是连续函数，并有连续的各阶导数：例4利用ln（1＋x）展开式的前五项计算ln1.2

4、之值．6．怎样判别曲线的凹凸性及拐点？由导数的符号，可知函数f（x）的单调性，但还不能完全反映它的变化规律，如函数与（图3－17）在（0，＋∞）都是单调增加的，但增加的方式却不同，是向上弯曲的，而是向下弯曲的．因此，研究函数图像时，考察它们的弯曲方向是很有必要的．由图3－18（a）、图3－18（b）我们可以直观地看到，当动点P沿着曲线滑动时，曲线上的切线随着点P而变化．当每一点的切线位于曲线下方时，曲线是向上弯曲的，此时称曲线是向下凹的；当每一点切线位于曲线的上方时，曲线是向下弯曲的，此时称曲线是向上凸的．如果一条曲线y＝f（x）在区间（a，

5、b）上是向下凹或是向上凸的，我们就说曲线y＝f（x）在（a，b）上具有凸凹性，曲线向下凹与向上凸的分界点称为曲线的拐点．下面我们给出判断曲线的凸凹性的一个方法．设f（x）在的邻域内存在连续的一阶导数和二阶导数，曲线y＝f（x）在点的切线为因而切线上横坐标为x的点的纵坐标为：曲线上横坐标为x的点的纵坐标为：AC表示点x处曲线上的点与切线上的点之间的距离(如图3—19)．(1)当时，则在点的充分小邻域内也大于0，因此AC>O，于是C在A之上，换句话说，在M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之上，故曲线在M点附近是向下凹的．(2)当则在点的充分小邻域内

6、也小于0，因此AC<0，即点C在A之下，换句话说，在点M的充分小邻域内，曲线弧落在切线之下，故曲线在M点附近是向上凸的．(3)当时，可能是正数也可能是负数．①若x由小于变为大于,不变号，则曲线在点M附近仍为向下凹的或向上凸的；②若x由小于变为大于，变号，则在点M处曲线将从切线的一侧穿过切线进入另一侧，即曲线在点M附近两侧，其中一侧是向下凹的，则另一侧是向上凸的．此时，点M是曲线向下凹与向上凸的分界点，即是拐点．从上面(3)中的②可以看出，若是使得的点，则可能是拐点．根据以上的讨论，我们可以给出判别曲线y＝f(x)凸凹性的步骤：(1)求出y＝f

7、(x)的定义域D．(2)求出，并求出方程的根等．(3)用等点将D分成若干个区域，在每个区间上判别的符号．若，则在此区间上的曲线是向下凹的；若，则在此小区间上是向上凸的(此步骤通常列表完成)．x（－∞，0）0＋0－0＋f（x）向下凹1向上凸向下凹拐点（0，1）由上表可知，曲线在（－∞，0）与是向下凹的，在是向上凸的，拐点是（0，1）和，如图3－21．7．怎样求曲线的渐近线？我们知道双曲线的渐近线有两条：．在作双曲线的图象时，如果能先把两条渐近线作出来，再画曲线的图象，就较准确地画出它的图象．因此如果一条曲线存在渐近线，先把它的渐近线求出来，对于

8、准确描绘函数y＝f（x）的图象是非常必要的．一般地，当曲线y＝f（x）上的动点P沿着曲线y＝f（x）无限地运离原点时，若动点P到某一定直线的距离无限地趋于0（如图3