立方根教学新思路用抽象方式定义立方根

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1、“立方根”教学新思路——用抽象方式定义立方根邬云德*作者简介：邬云德（1956-），男，浙江奉化人，中学高级教师，浙江省特级教师，从事数学教育研究．通讯地址：浙江省宁波市奉化区锦屏街道茗山路129幢5号，邮编：315500；联系方式：手机：13906846381，E-mail:xsjyswyd@sina.com．（浙江省宁波市海曙区古林镇中学　315176）[摘要]当前，在“立方根”一课的教学中，教师普遍用归纳方式定义立方根．其实，学生还没有归纳立方根特征所需要的认知基础．研究者在精致化分析基础上，对该课的教学进行重建——用抽象方式定义立方根．改进后的教学过程与效果得到了同事的认可．[关键词]

2、数学概念；定义形式；立方根；教学方法；教学说明一、背景介绍数学概念的定义形式大致可分为白描、归纳和抽象这3种[1]．有效的概念教学需要根据概念的定义形式来针对性地设计教学，并引导学生经历完整的认知过程．当前，在浙教版《数学》七年级上册3.3“立方根”一课的教学中，教师普遍用归纳形式定义立方根（浙教版教材也用归纳形式定义立方根）．其实，学生还没有归纳立方根特征所需要的认知基础（学生对方程根的认识还没有达到一定的“深度”）．笔者在精致化分析基础上，对该课的教学进行重建——用抽象方式定义立方根，并有针对性地设计其教学过程．改进后的教学过程与效果得到了同事的认可．本文简录其教学过程并提供教后说明，供读

3、者参考、研究．二、教学实录环节1：经历回顾旧知与提出问题的过程——明确研究问题师：我们知道，23=8．它是已知底数和指数求幂的运算．在“底数指数=幂”中，还能提出怎样的运算？生1：已知幂和指数求底数；已知幂和底数求指数．师：事实上，许多实际问题可以转化为这些运算．例如，要做一个体积为8cm3的立方体模型，它的棱长应取多少？这个问题可以转化为已知幂和指数求底数的运算．师：既然这些运算有丰富的现实情景，就有研究这些运算的必要．已知x3=a（a是已知数），怎样求x？本节课我们就来研究与之相关的问题．（揭示课题）环节２：参与定义立方根的活动——形成立方根的概念师：一个数的立方等于a（a是已知数），求这

4、个数的运算，叫做开立方，这个数叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．即：如果x3=a，那么求x的运算叫做开立方，运算的结果x叫做a的立方根．6师：像开平方与平方是互逆运算一样，开立方与立方也是互逆运算．根据立方根概念可得：若，则x是a的立方根；若x是a的立方根，则．例如，因为，所以2是8的立方根；因为2是8的立方根，所以．师：什么数的立方等于-8？-8的立方根是什么？生2：-2的立方等于-8．-8的立方根是-2．师：好的．数学上把a的立方根记做（它也表示a的开立方运算，即“（？）3=a”）．其中a是被开方数，3是根指数，“”读作“三次根号a”．例如，表示8的立方根，．中的根指数３不能省略，要写在

5、根号的左上角．师：由此可知，具有双重性含义：既表示运算（求a立方根的算式），也表示运算的结果（ａ的立方根）．师：表示什么？生3：表示求-8立方根的算式，也表示-8的立方根．．师：一般地，生4：因为表示ａ的立方根，所以．师：好的．其依据是立方根的意义：若x是a的立方根，则．由于这里a可以取任意实数，所以可把“”当公式使用．能说说与有什么不同吗？生5：表示a的算术平方根，表示a的立方根；中a只能取非负数，中a可以取任何数；的值是非负数，的值可以是正数或负数或零．师：不错．能多角度区分它们的不同点．环节３：参与求数立方根的活动——求有代表性数的立方根师：由于开立方与立方是互逆运算，所以我们可用立方运

6、算来求数的立方根．例如，求的立方根的过程如下：∵，∴的立方根是，即．师：请大家模仿上述样例，求下列各数的立方根：6（1）27．（2）-27．（3）．（4）．（5）0．生6：∵，∴27的立方根是3，即．生7：∵，∴-27的立方根是-3，即．生8：∵，∴的立方根是，即．生9：∵，∴的立方根是，即．生10：∵，∴0的立方根是0，即．师：猜一猜：关于数的立方根有什么结论？生11：正数有立方根，负数也有立方根．生12：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是０．师：不错．关于数的立方根有以下的事实：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根是０．师：能说说数的平方根与数的

7、立方根有什么不同吗？生13：正数有两个平方根，正数有一个立方根；负数没有平方根，负数有一个立方根．师：好的．由“”和“”，可以推出：；同理可得：．一般地，可以得到怎样的结论？生14：．师：这个猜想可以根据立方根的意义来验证，课后有兴趣的同学可以试试．它告诉我们：求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数．师：下面请大家先说出下列各式的意义，再计算．（1）．（2）．（3）