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1、例谈向量法解几何题的优越性【文章摘要】本文着重通过例子说明应用向量法解答一些几何题的优越性。向量法解几何题可减少“确定角的位置”、“确定距离的位置”的论证过程，减少立体几何问题的论证、探求的难度。我们在教学中可引导学生创新出更多更好的思维和方法，提高学生的分析能力和创新能力。【关键词】“向量法”、“几何问题”、“求角”、“求距离”。【正文内容】向量是新教材新增加的内容，高中阶段学的向量有平面向量和空间向量两部分，其中空间向量是平面向量的推广和拓展。有了向量，在数学，尤其是几何中的研究产生了较大的影响。向量作为一种工
2、具，在一定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。在研究解析几何、立体几何的问题中，向量，特别是向量的坐标表示，有独特的优越性。下面通过几个例子谈谈用向量来解决一些几何问题的优越性。一、用向量进行证明例1证明：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。已知：m,n是平面内的两条相交直线,直线与的交点为B,且⊥m,⊥n,求证:⊥.方法一(几何方法)分析:在内平移m,n,使它们都通过点B此时仍有⊥m,⊥n,过B点在内作任一条不与m,n
3、重合的直线g,在上自点B起在平面的两侧分别截取BA=BA′,于是m,n都是线段AA′的垂直平分线,它们上面的点到A,A′的距离相等,如果我们能证明g也是AA′的垂直平分线即可。在g上任取一点E,过点E在内作不通过点B的直线,分别与m,n相交于点D,C,容易证明△CDA≌△CDA′进而又可证明△CEA≌△CEA′于是EA=EA′，g⊥方法二(用向量)证明:在内作不与m,n重合的任一条直线g,在,m,n,g上取非零向量,,,,因m与n相交，得向量不共线，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y）,使，∵∴∴∴l
4、g∴l方法二与方法一相比较,方法二显得精练,简洁些,又不用作太多辅助线.二、用向量求距离例2如图，平行六面体ABCD —A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为60º。求AC1的长。解：∵∴2=2=()2==1+1+1+2cos60º+2cos60º+2cos60º=6∴∴AC1的长为.三、用向量求角用向量不仅可以求两向量夹角还可以求两异面直线所成角，线面所成的角，二面角，特别用向量求二面角更显示其优越性。值得注意的是：用cos<>＝，求两异面直线所成角时，要注意异面直线所成角的范围（0
5、º，90º）即当cos<0时，异面直线a,b所成角是的补角。当然向量也可求直线与平面所成角等。这时也要注意，斜线与平面所成角范围（0º，90º），直线与平面所成角范围[0º，90º]。求二面角平面角是高中阶段的一个难点,求此角的关键在于找出哪个角为所求,而用向量方法刚好可以避免找哪个角为所求角这一个关键.例3如图所示,三棱锥A-BCD,AB若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的大小.解:如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=A(1,0,2),B(1,0,0)
6、,C(0,,0),D(0,0,0)设平面ABC的法向量为,则取平面ABC的法向量设平面ACD的法向量为则取法向量cos<>=,.四、用向量解解析几何问题例4椭圆的焦点为F1、F2，点P为动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是。（2000年高考题）解：由椭圆方程知焦点F1（），F2（），设点P（x0，y0），则∵∠F1PF2为钝角，∴cos∠F1PF2=，即∴(x0+)(x0)+y02<0即x02+y02<5……①又P(x0，y0)在椭圆上，∴即y02=4x02代入①得：x02+4x02<5所以x02
7、<，所以即点P的横坐标的取值范围是。如果用常规的方法，用两点间距离公式才能将坐标与边长，用余弦定理将边长与角联系起来；但采取向量的方法可以大大减少繁琐的计算，使得解答过程简单明了。当然，用向量解决以上问题并不是唯一的方法，但它是解决以上问题的一种有力工具。向量在高中数学中的优越性并不止这些，在此不一一列举了。掌握用向量方法解决问题，不仅可以达到问题解决的目的。还可以在解题过程中感受到成功的喜悦，何乐而不为呢？总之在解决问题的时候，要注意多角度考虑，应因时、因地制宜。这样做了，还会创新出更多更好的思路和方法。我们在教
8、学中应注意引导学生加强知识之间的联系，提高学生的分析能力和创新意识。【参考文献】（1）东北师大学出版社袁桐编著《数学教学大纲与教材分析》（2）中国人民大学书报资料中心《中学数学教与学》（3）中学教科书（试验修订本·必修）《数学》第二册（下B）
