高中数学开放题赏析(一)

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1、高中数学开放题赏析（一）题目1：如果一个四面体的三个面是直角三角形，那么，第四个面可能是：①直角三角形；②锐角三角形；③钝角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等边三角形。请说出你认为正确的那些序号。解：分三种情形第一种情形　从同一顶点出发的三个面都是直角三角形，且都以该顶点为直角顶点，如图1。设AD、BD、CD的长分别是a、b、c，∵∠ADB=∠ADC=∠BDC=900，∴AB，BC，AC的长分别为在△ABC中，由余弦定理cos∠BAC===＞0∴∠BAC是锐角，同理∠ABC、∠ACB也是锐角∴△ABC是锐角三形。②正确。当a=b=c时△A

2、BC是等边三角形，⑥正确。第二种情形如图2，∠ADB=∠ADC=∠DBC=900∵AD⊥BD，AD⊥DC，∴AD⊥面DBC∴BD是AB在平面DBC上的射影。由三垂线定理知，BC⊥AB∴第四个面△ABC是直角三角形。①正确。第三种情形如图3，∠ADC=∠BDC=∠ACB=900设AD、BD、CD的长分别为a、b、c，则AC2=a2+c2，BC2=b2+c2，∴AB2=AC2+BC2=a2+b2+2c2在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB=＜0∴∠ADB＞900，△ABD是钝角三角形，③正确。显然在第二种情形下，AB和BC可以相等，所以三角形ABC

3、可以是等腰直角三角形，⑤正确，从而④也正确。故答案是①②③④⑤⑥。注：此题是一道高考模拟试题，是一道考查学生空间想象能力、探索能力的好试题。其中第三种情形容易被忽视，标准答案中也没有“钝角三角形”。（注：第三种情形的存在性可以这样来验证：先作三角形ABD，使∠ADB是钝角，然后过D作直线DC垂直于面ABD。以AB为直径作一球，则D必在球的内部，设C是直线DC与球面的一个交点，则∠ACB是直角，图3的四面体存在）。题目2：设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和。（I）证明：＜lgSn+1；（II）假设存在常数C＞0，使得成立？并证明你的结

4、论。（1995年全国高考题）解：（I）证明略得出Sn·Sn+2＜Sn+12。（II）假设存在常数c＞0，使得则有Sn－c＞0①Sn+1－c＞0②Sn+2－c＞0③(Sn－c)(Sn+2－c)=(Sn+1－c)2④由④得(SnSn+2－Sn+12=c(Sn+Sn+2－2Sn+1)⑤由重要不等式及①②③④知Sn+Sn+2－2Sn+1=（Sn―c）+（Sn+2―c）―2（Sn+1―c）≥2因为c＞0，故⑤式右端非负，即SnSn+2－Sn+12≥0。而由（I）的证明可知SnSn+2－Sn+12＜0，产生了矛盾。故不存在常数，c＞0，使评析：这是一个台阶试题

5、，在求解第（II）小题时，必然要用到第（I）题结论，也就是说第（I）题经过证明之后的结论将在解答第（II）小题时作为条件使用，而第（II）小题中究竟中是否存在常数c＞0？最终要看假设存在之后，是否与第（I）小题矛盾。题目3:设等比数列的公比为，前项和为，是否存在常数，使数列也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.讲解:存在型开放题的求解一般是从假设存在入手,逐步深化解题进程的.设存在常数，使数列成等比数列.(i)当时，代入上式得即=0但,于是不存在常数，使成等比数列.(ii)当时，，代入上式得.综上可知,存在常数，使成等比数列.等比数

6、列n项求和公式中公比的分类,极易忘记公比的情形,可不要忽视啊!解析：条件探索性开放型问题是指命题中结论明确而需要完备使结论成立的充分条件的题目。这类问题大致可分为：其一是条件未知，需要探注；其二是条件不足，要求寻求充分条件。解答这类问题，一般从结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，逐一推导，从中找出满足结论的条件。——节选自《高中数学开放题赏析》来源：http://www.tyzx.com.cn