全称量词和存在量词

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1、1.4全称量词和存在量词一、全称量词和存在量词1．全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．新课讲解(2)全称命题：①定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题．②一般形式：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题．2．存在量词和特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并且符号“∃”表示．(2)

2、特称命题：①定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题．②一般形式：特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．1．“a∥α，则a平行于α内任一条直线”是()A．真命题B．全称命题C．特称命题D．不含量词的命题解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．答案：B概念理解命题全称命题“∀x∈A，p(x)”特称命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立②对一切x∈A，p(x)成立③对每一个x∈A，p(x)成立④任选

3、一个x∈A，使p(x)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立①存在x∈A，使p(x)成立②至少有一个x∈A，使p(x)成立③对有些x∈A，使p(x)成立④对某个x∈A，使p(x)成立⑤有一个x∈A，使p(x)成立.常见的全称量词有：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．解析：如x＝0时，x2＝0，满足x2≤0.答案：B解析：当x＝0时，0∈N，但0<1.故“∀x∈N，x≥1”是假命题．答案：B4．下列命题：①偶数都可以

4、被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，既是特称命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．解析：①是全称命题，是真命题；②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；⑤是特称命题，是真命题；⑥是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.答案：①②③　

5、④⑤5．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断真假：(1)实数的平方大于或等于0；(2)存在一对实数(x，y)，使2x－y＋1<0成立；(3)勾股定理．解：(1)是全称命题，隐藏了全称量词“所有的”．∀x∈R，x2≥0.是真命题．(2)∃x∈R，y∈R,2x－y＋1<0，是真命题．如x＝0，y＝2时：2x－y＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．(3)这是全称命题，所有直角三角形都满足勾股定理．即∀Rt△ABC，a，b为直角边长，c为斜边长，a2＋b2＝c2.是真命题．例题讲解1.指出下列命题是全称命题，还是特称命题，

6、并判断它们的真假．(1)对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立．(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．(3)对数函数都是单调函数．(4)∀x∈R，x2－3x＋2＝0.跟踪练习解：(1)全称命题，因为x＝0时，x2＋x＋1＝1≠0，故是假命题．(2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整除，又能被5整除．(3)全称命题，是真命题．(4)全称命题，是假命题，因为只有x＝2或x＝1时满足．类型二、全称命题与特称命题的表述[例2](1)设集合S＝{四边形}，p(x)：内角和为360°.试用不同的表述写出全称命题

7、“∀x∈S，p(x)”．(2)设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写出特称命题“∃x∈R，q(x)”．例题讲解[解](1)依题意可得以下几种不同的表述：对所有的四边形x，x的内角和为360°；对一切四边形x，x的内角和为360°；每一个四边形x的内角和为360°；任一个四边形x的内角和为360°；凡是四边形x，它的内角和为360°.1.用全称量词或存在量词表示下列语句．(1)n边形的内角和等于(n－2)×180°；(2)两个有理数之间，都有一个有理数；(3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.跟踪练习解：(1)一

8、切n边形的内角和都等于(n-2)×180°；(2)任意两个有理数之间，都有一个有理数；(3)存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.例题讲解[解析]①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题