用数学软件改进“线性代数”课程的探讨

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1、本文刊登于《高等数学研究》,(西北工业大学陕西省数学学会主办)第12卷第3期（总第131期），2009年5月,pp23~25科学计算能力的培养与线性代数改革陈怀琛高淑萍杨威西安电子科技大学陕西西安710071，摘要：讨论了大学教学中科学计算能力的重要性，评价了我国在这个领域的落后状况。目前的线性代数课程忽视实用性：第一方面没有把后续课的需求作为制订大纲的依据，第二是没有引进计算机作为改革的动力。结合研究经验，提出改进的建议。关键词：教育现代化，科学计算能力，线性代数，改革中图分类号G6421。培养科学计算能力应该是理工科的教育目标之一科学计算能力是指的利用现代

2、计算工具（包括硬件和软件）解决教学和科研中计算问题的能力。它包括掌握最新的科学计算软件、建立适当的计算模型、采用正确的计算方法、实现高效的编程和运算、对计算结果作正确的表述和图解、…等多方面的综合能力。所以提高科学计算能力当然是理工科数学教育现代化中一个十分重要的基本环节。回顾大学中的计算工具的进化历史：1630年发明了计算尺，1970年起被计算器取代。20世纪90年代，计算器取代了计算机，它的标志是个人计算机的普及和科学计算软件的成熟。这些软件的共同特点是用矩阵和数组为模型，可以对海量数据群进行计算。计算机取代计算器，但必须要用新的模型和编程方法，所以要有意

3、识地纳入教学计划之中。中国的大学乎还没有给学生进行以计算机为计算工具的教育。奇怪的是改革开放初期列为必修课的FORTRAN，到80年代末，在数学软件高速发展时却被取消了。直到现在，情况并没有根本变化。我国在大学课程中使用计算机方面与世界各国的差距，在不断加大。其标志之一，就是在大部分课程的教学大纲和教材中，没有反映出计算机在课程教学中的应用。在1990年代中期，国外大量的课程的教材都已采用数学软件来作分析和计算。而国内教材则都比国外滞后，出书时间的差距大体如下，‘自动控制’为3年，‘信号处理’为8年，‘线性代数’则至少在10年以上，因为今天国外所有线性代数教材

4、都用了数学软件，并且充实了大量的应用实例。但国产的几乎所有教材却还都是20年前的老面孔。为了减少与世界的差距，2005年，我们申请了“用软件工具提高线性代数教学水平”的校基金项目，此项目历经三年，有40多名教师参加了培训，800多名学生进行了试点，编写并正式出版了两本教材和，其中一本用作教师培训，一本面向本科学生。今年五月，由教育部数学基础课程分教指委和西安电子科技大学联合组织的鉴定小组对此项目进行了鉴定，评价为：“该项目改革理念先进，特色鲜明，具有创新性，是一项高水平的教学改革成果，具有很好的推广价值。”（鉴定意见的全文可从作者的博客网址[6]中查到。）下面

5、简要介绍该项目的主要思路和做法。二。改革理念之一：“需求牵引”——工科后续课对线性代数的需求是什么？数学基础课的大纲应该以后续课和培养目标的需求来决定。这是教学计划论证(Abet)4的一条原则。我们针对电子工程和机电工程两类招生量最大的专业作了初步调查，共计有化学、高等数学、电路、理论力学、材料力学、数值计算方法、传热学、（物理）实验、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理、机械振动、机器人学、…等十多门课程需要用矩阵进行建模和解题，因篇幅所限，下面只举几个例子来说明。①静力学中的核心是平衡方程，一个空间物体有6个平衡方程，就是n=6

6、的线性方程组,两个刚体相联，方程数n就加倍；②刚体空间运动的坐标变换可用4×4的矩阵乘法来描述；③电路课中稳态电路核心是基尔霍夫方程，n个节点（或回路）就有n个方程；④交流电路更是复数方程；⑤信号流图可以表为N元的线性方程组，其中N是信号的数目；⑥信号频谱的计算可表为单行矩阵与N×N复数矩阵的乘积，通常N=1024；⑦最优化FIR滤波器的设计归结为在n阶超定线性方程组中求m个系数(n>m)；⑧坐标测量仪测量圆物体圆周上n点坐标来推算其半径的模型是n阶三元超定线性方程组；…。所有这些问题，现在的线性代数课程都解决不了。要满足后续课的这些要求，学完线性代数课程以后

7、，学生应该会做不低于6阶的复数矩阵运算，解6元以上的代数方程组，会解6阶三元以上的超定方程组，这是我们为线性代数制订的课程要求。怎么可能在不增加太多学时的前提下达到这个要求，唯一的方法就是引入计算机和软件工具。可以用下图表示数学软件对线性代数的作用。白色区为笔算能解的区，黑色区是笔算不能解的区域，灰色区是计算太繁的区域，用了数学软件后则全部区域都能解，而且其阶数可以向上扩展到几十、几百。不难看出，数学软件成百倍地扩展了学生解题的能力，从而使线性代数能较好地满足后续课和未来工程计算的需要。阶次876543适定方程欠定方程超定方程―――――――线性方程组求解―――

8、――

9、—求向量相关性

10、—－求特征值—三