《数列教师版》word版

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1、数列（A班）第1讲数列的概念考点1数列的通项公式题型1已知数列的前几项，求通项公式【例1】求下列数列的一个通项公式：⑴⑵【解析】⑴联想数列即数列，可得数列的通项公式；⑵将原数列改写为（或，或）变式1、求下列数列的一个通项公式：（1）（2）【解析】（1）分子为正偶数列，分母为得（2）观察数列可知：题型2已知数列的前项和，求通项公式【例2】已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式.⑴；⑵.【解析】⑴当时，，当时，.当时，，.⑵当时，，当时，.当时，，.变式1、已知为数列的前项和，且，求数列的通项公式【解析当时，，当时，.9而时，，.题型3已知数列的递推式，求通项公式（应用迭加（迭

2、乘、迭代）法求通项或者构造等差等比数列求通项）【例3】数列中，，求和数列的通项公式【解析】，，，，，变式1、⑴已知数列中，，求数列的通项公式；⑵已知为数列的前项和，，，求数列的通项公式.【解析】⑴（迭加法），⑵，，当时，.迭加法适用于求递推关系形如“”；迭乘法适用于求递推关系形如““；变式2、已知数列中，，求数列的通项公式.【解析】，是以为公比的等比数列，其首项为题型4已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项9【例4】数列中，.⑴是数列中的第几项？⑵为何值时，有最小值？并求最小值.【解析】⑴由，解得，是数列中的第项.⑵，或时，.变式1、数列中，.⑴求这个数列的第10项；⑵是否为

3、该数列的项，为什么？⑶求证：；⑷在区间内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由.【解析】⑴，；⑵令，无整数解，不是该数列的项.⑶，，，⑷由，得，当且仅当时，在区间内有数列的项.第2讲等差数列1.等差数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列叫做等差数列，常数为公差.2、⑴通项公式，为首项，为公差⑵前项和公式或.3.等差中项：如果成等差数列，那么叫做与的等差中项.即：是与的等差中项4.等差数列的判定方法：⑴定义法：（，是常数）是等差数列；⑵中项法：()是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴；(,是常数)；(,是常数，)⑵若，则；考点1等差数列的

4、通项与前n项和题型1已知等差数列的某些项，求某些项9【例1】已知为等差数列，，则【解析】方法1：方法2：，变式1：⑴已知为等差数列的前项和，，求；⑵若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.⑶数列中，，当数列的前项和取得最小值时，.【解析】⑴设等差数列的首项为，公差为，则⑵⑶由知是等差数列，变式2.已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.【解析】设这个数分别为则，解得当时，这个数分别为：；当时，这个数分别为：题型2求等差数列的前n项和【例2】已知为等差数列的前项和，.⑴求；⑵求；⑶求.【解析】当时，，当时，，当时，，.

5、由，得，当时，；当时，.⑴；⑵9；⑶当时，，当时，变式1、已知为等差数列的前项和，，则；解：；变式2、设、分别是等差数列、的前项和，，则.【解析】变式3、.含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（）【解析】，.选B.变式4、（倒序相加法求和）设，求：⑴；⑵【解析】，.⑴⑵原式.考点2等差数列的证明和综合应用【例3】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.【解析】方法1：设等差数列的公差为，，（常数）数列是等差数列.方法2：，，，数列是等差数列.9变式1、为数列的前项和，；数列满足：，，前项和为⑴求数列、的通项公式；⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正

6、整数的值.【解析】⑴，当时，；当时，当时，，；，是等差数列，设其公差为.则，.⑵，是单调递增数列.当时，对都成立所求最大正整数的值为.第3讲等比数列1等比数列的概念：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，为公比.2⑴通项公式：，⑵前项和公式：①当时，②当时，.3.等比中项：如果成等比数列，那么叫做与的等比中项.即成等比数列.4.等比数列的判定方法⑴定义法：（，是常数）是等比数列；⑵中项法：()且是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴⑵若，则；⑶若等比数列的前项和，则、、、是等比数列.考点1等比数列的通项与前n项和题型1已知等比数列的某些项，

7、求某项【例1】已知为等比数列，，则9【解析】方法1：方法2：，变式1、⑴已知为等比数列前项和，，，公比，则项数.⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.【解析】⑴由，，公比，得.⑵方法1：设这四个数分别为，则；方法2：设前个数分别为，则第个数分别为，则，解得或；方法3：设第个数分别为，则第个数为，第个数为，则或；变式2、已知为等比数列前项和，，，则.【解析】是等比数列，为等比数列，.题型2求等比数列前项和【例2】（1）等比数列中从第